Para simplificar, supongamos que todo lo que sigue es sólo en el dominio discreto.
A $\text{probability space}$ suele definirse como un triple $(\Omega , 2^\Omega , P)$ donde
$\Omega := \text{set of outcomes}$
$2^\Omega:= \text{set of events (for simplicity)}$
$P:= \text{mapping from } 2^\Omega \mapsto [0,1] \text{ which assigns a probability to each event}$
Mi primera pregunta es si $P$ es un distribución de probabilidad o un medida de probabilidad y cuál es exactamente la diferencia entre estas dos ideas.
Por otra parte, estoy tratando de entender dónde el concepto de un $\text{random variable}$ encaja en todo esto.
Según mi lectura una variable aleatoria (sobre el espacio de probabilidad anterior) $X:= \text{mapping from } \Omega \mapsto \mathbb{R}$ .
Cuando decimos $P(X=a)$ es este $P$ ¿se refieren a la misma distribución de probabilidad del espacio? ¿Qué es exactamente el objeto $X=a$ ? Creo que se refiere al conjunto de todos los resultados en $\Omega$ que corresponden a $a$ pero mi lectura no lo aclara.
Lo que más confunde es la afirmación: $\text{we will use the notation} P(X) \text{ to denote the distribution of the random variable X}$
De nuevo, ¿qué significa exactamente la distribución de probabilidad $P$ ¿Aquí? ¿Se refiere también al $P$ del espacio de probabilidad que $X$ se define sobre? ¿En qué se diferencia esta distribución?
