Teorema: Vamos a $V$ ser un Espacio de Banach y $W$ ser una normativa espacio lineal. Deje $I$ ser arbitraria de indexación conjunto y para cada una de las $i\in I$, vamos a $T_i\in L(V,W)$. Luego,
(1)no existe $M>0$ tal que $\|T_i\|\le M$ todos los $i\in I$ o
(2) $\sup_{i\in I}$ $\|T_i(x)\|=\infty$, para todos los $x$ pertenecientes a algunas denso $G_{\delta}$$V$.
Esta es la forma en la prueba,
Para cada una de las $x$, definir $\phi(x)=\sup_{i\in I}\|T_i(x)\|$
Definir $V_n=\{x\in V| \;\phi(x)>n\}$.
$V_n$ está abierto para todas las $n$.
Supongamos ahora que existe $N$ tal que $V_N$ no ser denso en $V$.
Entonces existe $x_0\in V$ $r>0$ tal que $x+x_0\notin V_N$ si $\|x\|<r.$
Esto implica que $\phi(x+x_0)\le N$ todos $x$, por lo que, para todos los $i\in I$ $\|T_i(x+x_0)\|\le N$.
Por lo tanto si $\|x\|\le r/2$, tenemos , para todos los $i\in I$, $\|T_i(x)\|\le \|T_i(x+x_0)\|+\|T_i(x_0)\|\le 2N$
De esto se desprende que, para todos los $i\in I$, $\|T_i\|\le \frac{4N}{r}$
No entiendo cómo la anterior destacó argumento sostiene. Puede alguien por favor que me lo explique.
