Ola kernel para el círculo de $\mathbb{S}^1$ - Sumación de Poisson Fórmula

Question

Pregunta : ¿Cómo puedo calcular la (ola) núcleo del hecho ya he encontrado (de onda) de seguimiento en la unidad de círculo?

Las definiciones están relacionadas con la página de $25$ de la siguiente pdf.

Como el Espectro de$(S^1)=\{n^2 : n\ \in \mathbb{N}^*\}$, la traza (Es esto relevante para la pregunta?) como la distribución es, simplemente, $$w(t)=\sum_{k \geq 1} e^{it \sqrt{- \lambda_k}}=\int_{-\infty}^{\infty}W(t,x,x)dx=\frac{1}{e^t-1}.$$

A partir de este hecho, me gustaría calcular el kernel $$W(t,x,y)= \sum_{k \geq 1} e^{it \sqrt{- \lambda_k}} \mu_k(x) \mu_k(y),$$ where $\mu_k$ is the eigenfunctions of the eigenvalues $\lambda_k$, and I found $\mu_k (t) = a_k \cos kt + b_k \sen kt$, $k \in \mathbb{Z}$.

Yo creo que vamos a utilizar la distribución de Poisson Suma Fórmula, pero no está claro.

(La Sumación de Poisson de la Fórmula) Deje $f(x)$ ser cualquier función continua a trozos, definidos para cada $x$, $-\infty < x < \infty$, tales que la suma de $F(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} f(x+2kL)$ converge (absolutamente) a un continuo y trozos $C^1$ función de $F(x)$. Asumir que este es el uniforme para $-L \leq x \leq L$. De modo que $F(x)$ es periódica de período de $2L$, y es igual a su serie de Fourier.

No entiendo cómo a hacer esto, sabiendo que la función exponencial no es periódica. Para ayudarle a entender mejor el concepto, creo que se puede mirar en un caso como el Calor del Núcleo en los siguientes enlaces #1 y #2.

Gracias!

P. S. por Favor, tenga en cuenta que no es para una tarea, sino más bien para el trabajo de investigación.

Answer 1

Creo que es el kernel \begin{align*} W\left(t,x,y\right) & =\sum_{n\geq1}e^{-tn}e^{in\left(x-y\right)}\\ & =\frac{1}{e^{\left(t-i\left(x-y\right)\right)}-1},\quad t>0. \end{align*}

Mirando pg 25 de los vinculados pdf, creo que el siguiente hace más sentido: \begin{align*} W\left(t,x,y\right) & =\sum_{n=1}^{\infty}\cos\left(nt\right)\sin\left(nx\right)\sin\left(ny\right),\;\text{and}\\ w\left(t\right) & =\sum_{n=1}^{\infty}\cos\left(nt\right) \end{align*}

Answer 2

En primer lugar, algunos comentarios acerca de la notación y la normalización: Si la onda núcleo está dado por $$W(t,x,y)= \sum_{k \geq 1} e^{it \sqrt{- \lambda_k}} \mu_k(x) \mu_k(y)$$ and the wave trace satisfies $$w(t)=\sum_{k \geq 1} e^{it \sqrt{- \lambda_k}}=\int_{-\infty}^{\infty}W(t,x,x)dx$$ then we must have $\int_{-\infty}^\infty \mu_k(x)^2\,dx=1$. This is natural for the setting cited in the linked thesis, where the functions were taken over the real line. But this is impossible for any eigenfunction periodic on $[0,2\pi)$. Hence I will instead assume that the range of integration in this case is $[0,2\pi)$; thus $\int_0^{2\pi} \mu_k(x)^2\,dx=1$ and $w(t)=\int_0^{2\pi} W(t,x,x)\,dx.$

Con esto en mente, la normalizado funciones propias (suponiendo periódico de las condiciones de contorno en $[0,2\pi)$) $\left\{\dfrac1{\sqrt{2\pi}},\dfrac1{\sqrt{\pi}}\cos x,\dfrac1{\sqrt{\pi}}\sin x,\dfrac1{\sqrt{\pi}}\cos 2x,\dfrac1{\sqrt{\pi}}\sin 2x,\cdots\right\}$ con autovalores $\{0,1,1,2,2,\cdots\}$. Esta base le da a la serie de la forma $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}a_0+\frac{1}{\sqrt{\pi}}\sum_{k=1}^\infty \left(a_k \cos kx+b_k \sin kx\right)$, como se espera de un Fourier de expansión.

De proceder a la ola de seguimiento y de la onda de seguimiento, obtenemos

\begin{align} w(t) &= 1+2\sum_{k=1}^\infty e^{-k t}=1+\dfrac{2e^{-t}}{1-e^{-t}}=\dfrac{e^t+1}{e^t-1},\\ W(t,x,y) &=\frac{1}{2\pi}+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^\infty e^{-k t}\cos kx\cos k y+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^\infty e^{-k t}\sin kx\sin ky \\ &=\frac{1}{2\pi}+\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^\infty e^{-k t}\cos k(x-y).\\ \end{align} Todo lo que queda es para simplificar la última suma, una tarea que dejo para el lector interesado.