Una solución racional para $\tan(\pi x)=y$

Question

Hay una solución racional para la siguiente ecuación; $$\tan (\pi x)=y\\y\neq-1,0,1$$

Supongo que no hay, pero no tengo idea de cómo resolver/demostrarlo.

EDIT: creo también que si $y$ es racional, entonces $x$ ni siquiera algebraicas, pero esto debe ser mucho más difícil de probar.

Answer 1

Deje $v_2$ el valor del $2$-ádico de valoración en $\Bbb Q$.

Deje $$A=\{\,x\in\Bbb Q\mid \tan \pi x\in\Bbb Q\setminus\{-1,0,1\}\,\},$$ Supongamos $x\in A$$\tan \pi x=\frac ab$. A continuación, $a\ne \pm b$ y por el teorema de adición, $$\tag 1\tan(2\pi x)=\frac {2ab}{a^2-b^2}\in\Bbb Q.$$ De $a,b\ne 0$, vemos a $\tan(2\pi x)\ne 0$; de $a^2-b^2\pm2ab=(a\pm b)^2-2\cdot b^2\ne 0$ (debido a $\sqrt 2$ es irracional), vemos a $\tan(2\pi x)\ne \pm1$. Llegamos a la conclusión de que $$\tag2x\in A\implies 2x\in A.$$

Más específicamente:

• Si $v_2(\tan\pi x)=0$, $a,b$ son impares, por lo tanto $a^2\equiv b^2\pmod 8$$v_2(\tan2\pi x)\le -2$.
• Si $v_2(\tan\pi x)<0$, $b$ es incluso y $a$ impar y $v_2(\tan2\pi x)=v_2(b)+1\ge2$.
• Si $v_2(\tan\pi x)>0$, $a$ es incluso y $b$ impar y $v_2(\tan2\pi x)=v_2(\tan\pi x)+1$.

Llegamos a la conclusión de que el mapa $$\begin{align}f\colon \Bbb N_0&\to\Bbb Z,\\k\;&\mapsto v_2(\tan 2^k\pi x)\end{align}$$ (which is defined for all $k$ by induction using $(2)$) es inyectiva.

Suponga $x=\frac cd\in A$ y escribir $d=2^nm$ $m$ impar. De Euler-Fermat, sabemos que $2^{\phi(m)}\equiv 1\pmod m$. A continuación, $2^{n+\phi(m)} x\pi-2^n x\pi=\frac{2^{\phi(m)}-1}{m}\cdot c\pi$ es un múltiplo entero de $\pi$, por lo tanto $f(n+\phi(m))=f(n)$, contradiciendo la inyectividad de $f$.

De ello se desprende que $$A=\emptyset.$$

Answer 2

Si usted permite irracional $y$, por supuesto que hay racional $x$ soluciones. Por ejemplo $$ \tan(\frac16\pi) = \frac{\sqrt{3}}{3} $$ No creo que las pruebas de que las funciones trigonométricas de (no-cero) argumentos racionales son trascendentales se aplican aquí, pero no me sorprendería si se pudiera demostrar que racional, $y$ tal que $y^3-y\neq 0$, $\frac1{\pi} tan^{-1}$ y no puede ser racional. (Esto, por supuesto, ser algebraicas.)