Probabilidad conjunta a partir de probabilidades marginales

Question

$X, Y_1, Y_2$ son variables aleatorias con alfabetos finitos (posiblemente) diferentes. Para funciones de masa de probabilidad condicional dadas $\mathbb{P}(Y_1|X)$ y $\mathbb{P}(Y_2|X)$ ¿es siempre posible hallar probabilidades condicionales conjuntas $\mathbb{P}(Y_1, Y_2|X)$ tal que $X\rightarrow Y_1\rightarrow Y_2$ ¿es una cadena de Markov? Resuma el procedimiento, por favor. El conjunto de probabilidades conjuntas no tiene por qué ser único, pero ¿está garantizada la existencia de al menos un conjunto?

P. S. El problema procede básicamente del contexto de la capacidad de los canales de difusión, en el que intento demostrar que cualquier canal de difusión escalar de dos usuarios puede convertirse en un canal degradado equivalente. He hecho todo lo posible por presentarlo de forma que alguien que no esté familiarizado con la teoría de la información pueda apreciar el problema. Avísenme si algo no ha quedado claro.

Answer 1

No siempre. Para un ejemplo ligeramente degenerado, supongamos que $X$ , $Y_1$ y $Y_2$ toman valores en $\{+,-\}$ con $Y_1=Y_2=+$ si $X=+$ y $Y_1=+$ y $Y_2=-$ si $X=-$ .

Las trayectorias del triple $(X,Y_1,Y_2)$ son $(+,+,+)$ y $(-,+,-)$ por lo que la distribución de $Y_2$ condicionado a $(X,Y_1)$ depende de $X$ Eso es, $(X,Y_1,Y_2)$ no puede ser una cadena de Markov.

Para un ejemplo menos degenerado, supongamos que $Y_1$ condicionado a $X$ es $+$ con probabilidad $1-p$ y $-$ con probabilidad $p$ independientemente de $X$ y que $Y_2$ condicionado a $X$ es $X$ con probabilidad $1-p$ y $-X$ con probabilidad $p$ . Se puede comprobar entonces que, para cada $p\ne\frac12$ el proceso $(X,Y_1,Y_2)$ no puede convertirse en una cadena de Markov.