Varias definiciones de "inmersión topológica"

Question

En Spivak, el libro de geometría diferencial que define un topológico de la inmersión de la $f$ "$f$ es una función continua que a nivel local es uno-uno". En mi limitada experiencia, con la categoría de $\mathsf{Top}$, esto parece como la definición incorrecta, y me preguntaba si alguien de aquí estaban de acuerdo.

No es la definición acorde con la $\mathsf{SM}$ definición de ser "$f$ es un local homeomorphism en su imagen"? Parece extraño pensar que, por ejemplo, cada inyectiva mapa en una indiscreta espacio cae bajo el título de inmersión.

Answer 1

Seguramente te refieres a "$f$ es localmente (en el dominio) una incrustación" en lugar de homeomorphism. En cualquier caso, la bondad o la maldad de una definición depende, precisamente, sobre lo que quiere usar. ¿Qué Spivak desea utilizar esta noción de 'topológica de la inmersión? Tenga en cuenta que para topológico colectores, local 'incrustar' y 'localmente inyectiva" son los mismos! Dudo que él tenía no Hausdorff espacios en mente aquí.

Esta noción de inmersión tiene importancia histórica, en el caso de que el dominio y codominio son ambos colectores. Véase, por ejemplo, Hirsch, "En un modelo lineal por tramos inmersiones".