Demostrando una factorización de ideales en un dominio Dedekind

Question

Deje $R=\mathbb{Z}[\sqrt{-13}]$. Deje $p$ ser una de las primeras entero, $p\neq 2,13$ y supongamos que $p$ divide un entero de la forma $a^2+13b^2$ donde $a$ $b$ $\mathbb{Z}$ y se coprime. Deje $\mathfrak{P}$ ser el ideal generado en $R$ $p$ $a+b\sqrt{-13}$ $\overline{\mathfrak{P}}$ el ideal generado por a$p$$a-b\sqrt{-13}$: $$\mathfrak{P}=(p,a+b\sqrt{-13})\qquad;\qquad\overline{\mathfrak{P}}=(p,a-b\sqrt{-13}).$$

Quiero mostrar que la $\mathfrak{P}\cdot\overline{\mathfrak{P}}=pR$.

Ya he probado uno inclusión: ciertamente, $\mathfrak{P}\cdot\overline{\mathfrak{P}}$ puede ser generado por $p^2,p(a\pm\sqrt{-13}),a^2+13b^2$ cuales son todos los $p$-múltiplos, por lo tanto $\mathfrak{P}\cdot\overline{\mathfrak{P}}\subseteq pR$.

Para el reverso de la inclusión, estoy tring para expresar $p$ en términos de producto de los elementos de los dos ideales, pero sin resultados hasta ahora. Se agradece cualquier ayuda, gracias.

Answer 1

Vamos $\ w = a\!+\!b\sqrt{-13}.\:$ $\ \color{#c00}{p\mid ww' = a^2\!+\!13b^2}\,$ por lo $\,(p,w)(p,w')=(p)\,$ por el Lema de abajo, desde la $\,\color{#0a0}{(p,w\!+w') = (p,2a) = 1},\,$ else $\,\color{#c00}{p\mid a\Rightarrow p\mid b},\,$ contra $(a,b)=1,\,$ $\,p\ne 2,13.\ \ $ QED

$\begin{eqnarray}{\bf Lemma}\,\ \ \color{#c00}{p\mid ww'},\ \color{#0a0}{(p,w\!+\!w')=1}\,\Rightarrow\, (p,w)(p,w')\! &=\,& (p^2,pw,pw',ww') \\ &=\,&\ \ p\ (p,w,w',\color{#c00}{ww'/p}) \\ &=\,& (p)\ \ by\ \ (p,w,w')\supset \color{#0a0}{(p,w\!+\!w') = 1}\end{eqnarray}$

Comentario $\ $ es muy útil para convertirse en experto con la anterior forma de ideal (y gcd) cálculo ya que es omnipresente en la teoría de los números, desde la primaria los resultados en $\Bbb Z$ tal como Euler número cuatro teorema (o Riesz/Schreier refinamiento), a los análogos de la anterior en más alto grado el número de anillos, como la clásica Kummer-Dedekind Criterio para el ideal de la factorización de racional de los números primos.

Answer 2

Sugerencia # 1: ¿Por qué terminaste, si$a^2+13b^2$ no es divisible por$p^2$?

Sugerencia # 2: Considere el caso, cuando$a^2+13b^2$ es divisible por$p^2$. Se supuso que los enteros$a$ y$b$ eran coprime, por lo que al menos uno de$a,b$ no es divisible por$p$. Reste$p$ de ese coeficiente y reemplace$a+b\sqrt{-13}$ con$(a-p)+b\sqrt{-13}$ o$a+(b-p)\sqrt{-13}$. Vuelve a la Sugerencia # 1.