Distribución de la suma de variables aleatorias normales no del todo independientes.

Question

Tengo un sistema independiente $X_i$ con la media $0$ y la varianza $1$ . Se distribuyen normalmente.

Desde el $X_i$ Construyo $Y_i$ = $X_i$ + $X_{i+1}$ . El $Y_i$ no son independientes.

Tengo curiosidad por saber la distribución de $\frac{\sum_{i=1}^n Y_i}{\sqrt{n}}$ . Desde el $Y_i$ no son independientes no creo que pueda usar CLT. Si descompongo la suma en una suma de $X_i$ Entonces no puedo deshacerme del término n en la varianza. ¿Hay una solución mejor?

Answer 1

Observe que $$\sum_{i=1}^n Y_i = \sum_{i=i}^{n} X_i + X_{i+1} = X_1 + X_{n+1} +\sum_{i=2}^{n} 2X_i.$$

De ello se desprende que $$\frac{\sum_{i=1}^n Y_i}{\sqrt{n}} = \frac{\sum_{i=1}^n 2 X_i}{\sqrt{n}} + \frac{- X_1 +X_{+1}}{\sqrt{n}}.$$ Es fácil ver que $\frac{- X_1 +X_{+1}}{\sqrt{n}} \rightarrow 0$ casi con seguridad. Además, por el teorema del límite central, $\frac{\sum_{i=1}^n 2 X_i}{\sqrt{n}} \rightarrow \mathcal{N}(0, 4)$ en la distribución.

Utilizando teorema de slutzky se obtiene $$\frac{\sum_{i=1}^n 2 X_i}{\sqrt{n}} + \frac{- X_1 +X_{+1}}{\sqrt{n}} \rightarrow Z + 0$$ en la distribución, donde $Z \sim \mathcal{N}(0, 4)$ .