¿Cuánto tiempo falta para que la presa pueda escapar?

Question

En mi investigación me he encontrado (más o menos) con el siguiente problema. El escenario real es un poco abstracto para explicar, así que estoy reformulando el problema en términos de un escenario depredador/presa. Lo etiqueto como una pregunta blanda porque:

• Ni siquiera estoy seguro de que el problema sea analizable, y me interesa saber qué piensan los demás al respecto;
• No estoy familiarizado con este tipo de matemáticas (que supongo que tienen que ver sobre todo con los autómatas celulares y la probabilidad ), por lo que incluso pistas sobre qué técnicas podrían ser útiles serían de gran ayuda;
• La formulación no es inamovible, y estoy abierto a modificaciones que hagan el problema más manejable.

Una presa (roja) es vigilada por 8 depredadores (azules) en un entramado cuadrado (diagrama de la izquierda). La disciplina de los depredadores disminuye lentamente y empiezan a pasearse. Si en algún momento la presa no es vigilada por al menos un depredador, se encuentra libre para escapar volando (diagrama de la derecha).

Me interesa el tiempo previsto por la que los depredadores son capaces de evitar que la presa se escape.

Propongo las siguientes reglas para el movimiento de los depredadores:

1. La presa permanece inmóvil.
2. En cada paso de tiempo $k$ Cada depredador elige aleatoriamente 1 de sus 8 casillas vecinas para desplazarse (independientemente de la ocupación de estas casillas).
3. Para cada depredador cuya casilla elegida no haya sido también elegida por otro depredador, y no sea la casilla de la presa, el depredador se mueve a su casilla elegida.
4. Repita el paso 3 hasta que ningún depredador pueda hacer un nuevo movimiento.
5. $k \leftarrow k+1$ y pasar al paso 1 si la presa no está libre, o terminar si lo está.

Answer 1

Usted permitió algunos cambios en las reglas, así que aquí están las nuevas reglas. Espero que no se alejen demasiado de su intención.

(1) Para empezar, ponemos la presa en $(0, 0)$ y el $8$ depredadores en el $8$ puntos de la cuadrícula adyacentes a la presa.

(2) En cada paso, cada uno de los 8 depredadores se desplaza a uno de los $8$ puntos más cercano a él (o se mantiene) cada uno con probabilidad $1/9.$

(2a) No nos importa si un punto de la cuadrícula está ocupado por varios actores (presas o depredadores). Esto es relativamente infrecuente y no es probable que tenga mucho efecto en el resultado. (2b) No restringimos el movimiento a los puntos de la $9 \times 9$ de la rejilla. En general, pocos depredadores van lejos de todos modos. (2c) La principal RAZÓN de (a) y (b) anteriores es la facilidad de programación. La principal JUSTIFICACIÓN es que intuitivamente no creo que estas desviaciones de sus reglas van a hacer mucha diferencia, y no entiendo lo que quieres decir con tu Regla #4. (Caja: "Todos los modelos son erróneos, pero algunos son útiles").

(3) El proceso se detiene en cuanto los ocho puntos de la cuadrícula adyacentes a la presa (sus puntos grises) están vacíos, permitiendo que la presa se escape.

Dejemos que $T$ sea el número de pasos hasta que la presa escapa. Siguiendo la sugerencia de @Henry de que la simulación es la mejor manera de responder a esto, aquí está el código R que implementa las reglas alteradas, junto con anotaciones (presumiblemente explicativas):

 m = 100000;  t = numeric(m)   # 100,000 performances of expt
   for (i in 1:m) {
   x = c(1,1,0,-1,-1,-1, 0, 1)  # starting x-coords of 8 predators
   y = c(0,1,1,1,0,-1,-1, -1)   # their starting y-coordinates
   cnt = 0;  far = 1            # init count & min predator dist from prey
     while(far < 2) {
     dx = sample(-1:1, 8, rep=T) #incremental movements
     dy = sample(-1:1, 8, rep=T) #  of predators
     x = x + dx;  y = y + dy     # their new locations
     far = min(sqrt(x^2+y^2))    # their min dist from prey
     cnt = cnt+1 }
   t[i] = cnt }
 mean(t);  sd(t)
 ## 12.13223
 ## 6.258674
 summary(t)
 ##    Min. 1st Qu.  Median   Mean 3rd Qu.    Max. 
 ##   1.00    8.00   11.00   12.13   15.00   61.00 

La aproximación da $E(T) \approx 12.1$ y $SD(T) \approx 6.3.$ El siguiente gráfico muestra un ejemplo de una de las 100.000 ejecuciones en la que la presa tardó 19 pasos en escapar, y un histograma de los 100.000 valores simulados de $T$ . (Si la opción de no moverse en cada paso se omitiera la media sería un poco más pequeña).