Demuestre que existe una función única de la clase$C^1$ tal que para todos los$x \in \mathbb{R}$:$x^2f(x)^3 + 3x^3f (x)^2 + (5x^4 + 1) f (x) = \cos (f (x))$

Question

Demuestre que hay una función única$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ de la clase$C^1$ tal que para todos$x \in \mathbb{R}$:

PS
Mi trabajo:
Supongamos que$$x^2f(x)^3 + 3x^3f (x)^2 + (5x^4 + 1) f (x) = \cos (f (x))$ y mediante el teorema implícito es una idea resolver esto:$y=f(x)$ $ (F es clase$$F(x,y)=x^2y^3 + 3x^3y^2 + (5x^4 + 1)y - \cos (y)=0=F(x,f(x))$)
Para mostrar esto debemos mostrar que:$C^1$ es una matriz regular para todas las x.
$\frac{\partial F}{\partial y}$ $$$\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)=3y^2x^2+6yx^3+5x^4+1-\sin(y)$ $ Pero para$$\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)=3y^2x^2+6yx^3+5x^4+1-\sin(y)=0$$(x,y)=(0,\pi/2)$ es 0, lo cual no es bueno: / ¿Qué hice mal?

Answer 1

Con el fin de aplicar el teorema de la función implícita primero necesita encontrar un punto de $(x,y)$ tal que $F(x,y) =0$. Un enfoque posible es utilizar el valor medio teorema. Se puede, por ejemplo, comprobar que los $F(x, 0) = - \cos(0) = -1$ es independiente de $x$. Ahora $$F(x,\frac{\pi}{2}) = x^2 \left(\frac{\pi}{2}\right)^3 + 3 x^3 \left(\frac{\pi}{2}\right)^2 + (5x^4 +1)\frac{\pi}{2} $$ es bastante obviosly, positivo para la gran $x$. Si corregir tal $x$, $x_0$, decir, entonces el valor medio teorema para funciones continuas muestra que hay (al menos) un valor de $y_0$ tal que $F(x_0, y_0) = 0$.

Ahora tienes que comprobar que el $y$- derivado de la $F$ no desaparece cuando se $F(x, y) = 0$ no es necesario para comprobar esta donde esta condición no se cumple.

Esto le permite localmente solucionar $F(x,y)$ de forma exclusiva en un barrio de $(x_0,y_0)$.

Usted necesita demostrar que usted puede extender la solución (única) a $x\in \mathbb{R}$. Generalmente esto se hace suponiendo que la solución existe para $x \in (a,b)$ la $x\rightarrow a$ (o $b$) y comprobar si el resultado $F(x, f(x))$ converge. Si lo hace, va a converger a $0$. Entonces, si $\frac{\partial}{\partial y}F(x,f(x))$ no es cero en ese punto, usted puede (exclusivamente) extender la solución. Así que el conjunto donde $f$ se define abierto (por qué?) y cerrado, así que es conectado por lo que es $\mathbb{R}$.

Si has llegado hasta aquí, que son, sin embargo, aún no ha terminado. Tiene que excluir la posibilidad de que hay una segunda solución. Un punto de partida es comprobar si $F(x, y) $ puede ser estrictamente monótona en algún lugar con respecto a $y$. Si es así, y si su primer consideraciones muestran que una solución local se extiende a todo el mundo de una manera única, entonces la suposición de que una segunda solución sería una contradicción.

Los detalles que voy a dejar a usted (o algún otro tipo de alma que le gusta escribir los detalles o sabe un atajo).

(ah, y su cálculo anterior muestra que $F(0, \pi/2) \neq 0$, lo que no tiene sentido aquí, como ya se indica por coffeemath)