Estoy tratando de mostrar que la siguiente desigualdad se cumple $$ \frac{1-x^{n}}{1-x^{n+1}}\geq\frac{\sum_{i=0}^{n-2}x^{i}(1-x_{1}^{n-(i+1)})}{\sum_{i=0}^{n-1}x^{i}(1-x_{1}^{n-i})}, $$
donde $n$ es un entero positivo, $x$ $x_{1}$ son números reales la satisfacción de $x_{1}<1$$x>x_{1}$.
Esto es lo que he intentado: Uno puede mostrar que el lado izquierdo es el aumento en el $n$, por lo tanto para mostrar lo anterior es suficiente para mostrar que $$ \frac{\sum_{i=0}^{n-2}x^{i}}{\sum_{i=0}^{n-1}x^{i}}\geq\frac{\sum_{i=0}^{n-2}x^{i}(1-x_{1}^{n-(i+1)})}{\sum_{i=0}^{n-1}x^{i}(1-x_{1}^{n-i})}. $$ He tratado de delimitación de los términos de $(1-x_{1}^{n-(i+1)})$ $(1-x_{1}^{n-i})$ en el lado derecho y sacarlos de la suma, pero que no alcanzar el resultado deseado.