Demostrando una desigualdad que involucra variables discretas.

Question

Estoy tratando de mostrar que la siguiente desigualdad se cumple $$\frac{1-x^{n}}{1-x^{n+1}}\geq\frac{\sum_{i=0}^{n-2}x^{i}(1-x_{1}^{n-(i+1)})}{\sum_{i=0}^{n-1}x^{i}(1-x_{1}^{n-i})},$$

donde $n$ es un entero positivo, $x$ $x_{1}$ son números reales la satisfacción de $x_{1}<1$$x>x_{1}$.

Esto es lo que he intentado: Uno puede mostrar que el lado izquierdo es el aumento en el $n$, por lo tanto para mostrar lo anterior es suficiente para mostrar que $$\frac{\sum_{i=0}^{n-2}x^{i}}{\sum_{i=0}^{n-1}x^{i}}\geq\frac{\sum_{i=0}^{n-2}x^{i}(1-x_{1}^{n-(i+1)})}{\sum_{i=0}^{n-1}x^{i}(1-x_{1}^{n-i})}.$$ He tratado de delimitación de los términos de $(1-x_{1}^{n-(i+1)})$ $(1-x_{1}^{n-i})$ en el lado derecho y sacarlos de la suma, pero que no alcanzar el resultado deseado.

Answer 1

La evaluación de los cuatro geométricas sumas de dinero en $$f_n(x,x_1) = (1-x^n)\sum_{i=0}^{n-1}x^{i}(1-x_{1}^{n-i}) - (1-x^{n+1})\sum_{i=0}^{n-2}x^{i}(1-x_{1}^{n-(i+1)})$$ y simplificando obtenemos

$$f_n(x,x_1) = (x_1x)^n + \frac{g_n(x) - g_n(x_1)}{x-x_1}$$

donde $g_n(x) = x^n(1-x)$. A partir de esta expresión podemos ver que la función de $f_n$ es simétrica $f_n(x,x_1)=f_n(x_1,x)$, por lo que la condición de $x>x_1$ no debe ser (y no es) necesario.

Vamos a mostrar que el $(1-x_1)(1-x)f_n\geq 0$ todos los $x,x_1\geq 0$ cuando la prefactors $(1-x)(1-x_1)$ han sido introducidas para evitar que se divide en diferentes casos para $x>1$ $x<1$ etc. Para ello se utiliza la inducción en $n$. Suponga que para $n\geq 2$ tenemos $(1-x_1)(1-x)f_n\geq 0$

$$(1-x_1)(1-x)f_{n+1} = (1-x)^2x^n(1-x_1)[1-x_1^{n+1}] + x_1(1-x_1)(1-x)f_n \geq 0$$

Para el caso base $n=2$ podemos factorizar $(1-x_1)(1-x)f_2$

$$(1-x)f_2 = (1-x)^2(1-x_1)^2\left[x + (1+x)(1+x_1)\right] \geq 0$$

y de ello se desprende que la desigualdad

$$\frac{(1-x)(1-x_1)f_n(x,x_1)}{(1-x)(1-x_1)(1-x^{n+1})\sum_{i=0}^{n-2}x^i(1-x^{n-i-1})} \geq 0 \implies \frac{1-x^n}{1-x^{n+1}} \geq \frac{\sum_{i=0}^{n-1}x^{i}(1-x_{1}^{n-i})}{\sum_{i=0}^{n-2}x^{i}(1-x_{1}^{n-(i+1)})}$$

tiene para todos los $x,x_1\geq 0$. El rango de valores permitidos de hecho, puede ser afilado para $x \geq -\frac{1+x_1}{2+x_1}$, $x_1\geq 0$ y por la simetría de la desigualdad también tiene para todos los $x_1\geq -\frac{1+x_1}{2+x_1}$$x\geq 0$.