Que yo sepa, nadie ha demostrado la irracionalidad de Constante de Euler Mascheroni . Hay discusiones sobre la dificultad de demostrar la irracionalidad de esta constante .
Dado que no podemos demostrar que esta constante es irracional, ¿no es teóricamente posible que este número sea realmente racional? Quizás se pueda escribir de la forma $p/q$ donde $q$ es un número entero enorme (muy superior a la capacidad de todos los superordenadores actuales). Si es así, me parece una broma de Dios a los matemáticos.
Intuitivamente, yo también creo que esta constante debe ser irracional; pero ¿no es también posible (tal vez muy remotamente) que sea racional? Si es así, todo el esfuerzo actual por demostrar su irracionalidad está en la dirección equivocada.
Editar : Recordando un comentario, pregunto básicamente "si es racional, ¿cómo afecta a las matemáticas? Por ejemplo, ¿hay alguna teoría basada en la irracionalidad de esta constante que deba ser derribada?
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Entonces tu pregunta es: "Si es racional, ¿qué implicaría matemáticamente?" ¿Correcto?
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Creo que la OP está preguntando si es posible que sea racional, entonces por qué estamos poniendo tanto esfuerzo en tratar de demostrar que es irracional. La razón es que, desde el punto de vista heurístico, no hay casi ninguna posibilidad de que sea racional, le asignaríamos una probabilidad esencialmente 0.
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@MatthewLiu, has entendido perfectamente mi pregunta. Por otro lado, sí que me interesa saber cómo se ven afectadas las matemáticas si son racionales.
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@MatthewLiu, ¿qué tal si hace cientos de años la gente conjeturaba que los números de Fermat son todos primos?
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Sí, es posible (en el sentido de que no podemos demostrar lo contrario), aunque muy poco probable. Véase ce MO para ejemplos de un tipo similar. Pero el numerador y el denominador tendrían que ser muy grandes, ¡y ciertamente sería sorprendente verlo!
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@Zuriel No estoy seguro de qué relación tienen los números de Fermat con esto. La gente hace conjeturas basadas en patrones que observa. Si es cierto entonces es un avance útil que nos ayuda a ver otros patrones. Si no es así, se puede entender por qué la conjetura es falsa. Demostrar que una secuencia infinita de números es primitiva tiene una probabilidad muy diferente de ser cierta que la de que un número algo arbitrario sea racional cuando la medida de los racionales en los reales es 0.
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Creo que nadie tiene idea de demostrar que la constante es racional. De hecho, la constante se ha calculado con muchos dígitos, por lo que, como ya se ha dicho, una fracción tendría un denominador y un numerador enormes. Sería un milagro que la constante resultara ser racional (por decir algo). Sin embargo, las sorpresas siempre son posibles. Las secuencias de Goodstein, por ejemplo, nunca se consideraría que tienden eventualmente a $0$ si un programa de ordenador se ejecutara paso a paso. Seguramente sacaríamos una conclusión errónea.
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Otros números no conocidos como irracionales son $\ e+\pi\ $ y $\ e\cdot \pi\ $
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Con respecto al ejemplo de Fermat : Simplemente fue demasiado perezoso para verificar el siguiente número que ya exhibía un contraejemplo descubierto por Euler.
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Otra reflexión: por muchos denominadores que podamos comprobar con la tecnología, sólo podemos comprobar un número finito de ellos; es decir, el 100% de todos los primos quedan sin comprobar. Entonces, ¿quién puede asegurar que la constante de Euler debe ser irracional?
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@Zuriel Por supuesto, esto es sólo una heurística. No podemos calcular exactamente la constante de Euler Mascheroni (a menos que sea realmente racional). Además, las pruebas de irracionalidad son, en general, extremadamente difíciles. Ni siquiera sabemos si existe una prueba de irracionalidad de antemano. Usted volvió a mencionar los primos, ¿qué tienen que ver con la cuestión de si $\gamma$ ¿es racional? Es un problema completamente diferente.