Probabilidad: 10 de bola es azul

Question

La siguiente es una pregunta que me he hecho a mí mismo, pero necesito ayuda en la solución de:

Supongamos que hay 100 bolas en una caja. 20 bolas son de color azul, de 30 bolas son de color verde y 50 bolas son de color amarillo. Ahora seleccionamos aleatoriamente 10 bolas fuera de la caja (una bola después de la otra) y no ponemos las bolas en la caja.

¿Cuál es la probabilidad de que el 10 de pelota que se tomó con el color azul?

Traté de pensar en todas las posibilidades de la el 10 de bola azul, dividido por todas las combinaciones posibles. He intentado por varias horas y no podía entender por ninguno de ellos. Se agradece la ayuda!

Answer 1

Supongamos que, en lugar de escoger a diez bolas, que recoja todos los 100 bolas y colocarlas en una fila en el orden que usted haya elegido. Cada una de las $100!$ órdenes posibles es igualmente probable, y $20\cdot99!$ tiene una bola azul en la 10ª posición. Por lo tanto la probabilidad es exactamente $\frac{1}{5}$.

Answer 2

Pregunta interesante.

WLOG, suponga que

(1) las bolas son de color azul (B) o el azul no (N), y

(2) hay sólo dos pasos:

• (i) Paso Uno: el primero, de 9 bolas son elegidos en una sola vez ;

• (ii) Paso Dos: el 10 de bola es el elegido.

Paso Uno:

La probabilidad de tener $i \;(0\le i\le 9)$ azul bolas de $9$ elegido bolas es $$\binom {20}i\binom {80}{9-i}\bigg/\binom {100}9$$. Esto deja a $20-i$ bolas de color azul a la izquierda, y $91$ bolas de izquierda en total.

Paso Dos:

La probabilidad de elegir una bola azul como el 10 de bola es $\frac{20-i}{91}$.

En combinación, la probabilidad de elegir una bola azul como el 10 de bola es $$\sum_{i=0}^9 \binom {20}i\binom {80}{9-i}\frac{20-i}{91}\bigg/\binom{100}9=0.2\qquad\blacksquare$$

---

EDIT: Acaba de cambiar el límite inferior de la sumatoria de $1$ $0$y el resultado es $0.2$ (!).

Answer 3

Puesto que usted está (supuestamente) el tratamiento de todos los (restantes) bolas de manera equivalente en cada sorteo, cada bola tiene la misma probabilidad de ser extraídas en el 10 de dibujar. Ya que la suma de estas probabilidades más que todas las pelotas es $100\%$ (que son ciertas para dibujar exactamente una de las bolas 10) la probabilidad de que cada individuo de la bola debe ser exactamente $100\%\div100=1\%$. Desde allí se $20$ bolas de color azul, la probabilidad de que la bola se dibujan como 10 es uno de los es $20\times1\%=20\%$.

Este mismo argumento de simetría se aplica independientemente de las complicaciones del procedimiento de selección, siempre y cuando no hay información acerca de sus resultados (si se nos dijo que el primer 9 bolas extraídas eran todos de color azul que sin duda podría cambiar las probabilidades), y siempre que el procedimiento es justo: no discrimina las bolas de alguna manera (que por ejemplo no ser el caso, es decir que vuelve a poner una bola si y sólo si es azul).

Answer 4

Deje $B_i$ el caso de que se escoja $i$ bolas de color azul en el 9 de la selección de primera y $A$ el caso de que 10 recogió la pelota es azul, a continuación, utilizar el total de la probabilidad de que hemos

$$P(A)=\sum_{i=0}^9P(A|B_i)P(B_i)$$

y tenemos

$$P(A|B_i)=\frac{20-i}{91}$$ y $$P(B_i)=\frac{{9\choose i}A_{20}^i\times A_{80}^{9-i}}{A_{100}^9}$$

Answer 5

WLOG y hacer que sea fácil para nosotros podemos mirar el $11$th pelota.

En promedio, usted ha escogido $5$ amarillo, $3$ verde y $2$ azul bolas en su primera $10$ picks. Por lo tanto, cuando usted se acerca a recoger el $11$th bola hay $90$ bolas en la caja: $45$ amarillo, $27$ verde y $18$ bolas de color azul.

La probabilidad de que usted va a recoger una bola azul en el siguiente punto es

$$\frac{18}{18+27+45} = 0.2$$