Los sistemas recursivos de ecuaciones con la siguiente forma, ¿alguna vez se han considerado?

Question

Supongamos que un sistema de 2 ecuaciones define como:

$$\begin{cases} x_{n+1}&=f_x(x_n,y_n) \\ y_{n+1}&=f_y(x_n,y_n) \end{casos}$$

donde las condiciones iniciales de $x_0$ e $y_0$ están definidos, y $x_n,y_n\in\Bbb R$, $f_x,f_y:\Bbb R^2\to \Bbb R$.

He encontrado que si $f_x(x,y)=\cos(x+y)+\sin(x-y)$ e $f_y(x,y)=\cos(x-y)+\sin(x+y)$. A continuación, el sistema se convierte en

$$\begin{cases} x_{n+1}&=\cos(x_n+y_n)+\sin(x_n-y_n)\\ y_{n+1}&=\cos(x_n-y_n)+\sin(x_n+y_n) \end{casos}$$

que para cualquier a partir de los valores de $x_0$ e $y_0$ producirá los siguientes puntos(graficado $x$ horizontal y hasta $x_{1.000.000}$):

lo que crea un lugar interesante estructura(creo que se llama un atractor), y me encantaría saber más acerca de estos sistemas, pero no pudo encontrar nada. Cualquier ayuda se agradece. Gracias.

EDITAR:

Si el sistema es

$$\begin{cases} x_{n+1}&= \cos(x_n^2+y_n^2) \\ y_{n+1}&= \sin(x_n^2-y_n^2) \end{casos}$$

Los puntos serían los siguientes:

Son estos procedente de algunas ecuaciones diferenciales?

Answer 1

Sí, tales recurrencias se han estudiado ampliamente y aún están sujetas a investigación en el campo de los Sistemas Dinámicos , en particular los sistemas dinámicos de tiempo discreto . En este campo se estudia el comportamiento de las aplicaciones repetidas de una función (en su caso $\mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ ) a algunas entradas.