¿Existe una función holomórfica tal que$(f(z))^3=z-z^2$

Question

¿Existe una función holomórfica $f:C-[0,1]$ tal que $(f(z))^3=z-z^2$ para todos $z\in C-[0,1]$

Mi intuición me dice que en realidad no, por ejemplo, $$(z-z^2)^{\frac{1}{3}}$ $

no tiene una rama única en este conjunto, pero no sé cómo probarlo formalmente.

Answer 1

La función $z\to z-z^2$ tiene un polo doble en el infinito, lo que significa que su $f$ tendría un polo de orden $2/3$ allí.

Answer 2

Los ceros de $f$ deben ser los mismos que los de $z-z^2$, es decir, $0$ e $1$.

¿Qué es la liquidación número de $f(z)$ como $z$ describe un pequeño círculo alrededor de $0$? Desde $z-z^2$ vientos alrededor de $0$ una vez, usted necesita un entero que da $1$ cuando se multiplica por $3$. Pero eso es imposible.