Prueba de que$ \operatorname{rank }(A) \le 4$

Question

Deje $A \in \mathbb R^{10,10}$, $x_{1},x_{2},...,x_{7}\in \mathbb R^{10}$ cuales son vectores linealmente independientes y $Ax_{1}=Ax_{2}=...=Ax_{7}$. La prueba de que $ \operatorname{rank} (A) \le 4$

Yo sé que es verdad porque si tengo siete vectores linealmente independientes y me multiplicar una matriz con estos vectores I debe tener al menos $6$ cero filas, porque he a$Ax_{1}=Ax_{2}=...=Ax_{7}$. Por ejemplo, si he a$5$ cero filas, a continuación, este vectores no son linealmente independientes.

Sin embargo no sé cómo demostrarlo de una forma elegante.

Answer 1

Puedes encontrar 6 linealmente independiente de vectores en el núcleo de $A$ considerando $y_1=x_2-x_1$, $y_2=x_3-x_1$,...,$y_6=x_7-x_1$. De hecho, se puede comprobar que $Ay_i=0$ para todos los $1\geq i \geq 6$.

Por lo $\dim Ker(A) \geq 6$. Por el Rango de-Nulidad Teorema, $$rank(T) = 10 - \dim Ker(T) \leq 10-6=4$$