Resolviendo

Question

La cuestión es resolver la siguiente pregunta en el rango de $-\pi \le \theta \le \pi$

$$2\sin\theta\cos\theta + \sin\theta = 0$$

Me perdí el pecado obvio factorización así que procedió de la siguiente manera. Veo las soluciones correctas deberían ser $\pm2/3\pi$ y los valores cuando se $\sin\theta = 0$. Aunque me perdí los primeros factorización no sé lo que estoy haciendo para llegar realmente a una respuesta incorrecta:

$$\begin{align} 2\sin\theta\cos\theta + \sin\theta &= 0 \qquad\text{(square)} \tag{1} \\ 4\sin^2\theta\cos^2\theta + \sin^2\theta &= 0 \tag{2}\\ 4\sin^2\theta(1-\sin^2\theta) + \sin^2\theta &= 0 \tag{3} \\ 4\sin^2\theta - 4\sin^4\theta + \sin^2\theta &= 0 \tag{4} \\ 5\sin^2\theta - 4\sin^4\theta &= 0 \tag{5} \end{align}$$

y luego resolver por sustitución del/de la ecuación cuadrática llego $\sin\theta = \pm\sqrt(5)/2$ e $0$ pero como esta fuera de los límites para el pecado por lo que no puede ser la respuesta.

Sé utilizar Symbolab que esta solución es la correcta para la cuadrática he generado, por lo que deben estar pasando mal en algún lugar por encima de después de la falta que factoristion. Me siento como en la cuadratura paso, pero no seguro de lo que sería equivocado...

Muchas gracias por tu ayuda.

Answer 1

De tu primera línea a tu segunda no cuadraste correctamente. Si está cuadrando la ecuación, se perdió el término cruzado $4\sin^2 \theta \cos \theta$ . Si llevó el $\sin \theta$ al otro lado antes de cuadrar para evitar el término cruzado, cuando lo trajo de vuelta, el $\sin^2 \theta$ debería tener un signo menos.

Answer 2

Voy a empezar por la gráfica de esta función, el eje x es $\theta / \pi $ que muestra la función es cero en los puntos 5.

\begin{align} 2 \cdot \sin(\theta)\cos(\theta) + \sin(\theta) & = 0 \\ sin(\theta) \cdot (2\cdot\cos(\theta)+1) & = 0 \end{align}

Así que o $\sin(\theta) = 0$ o $2\cdot\cos(\theta)+1 = 0 \Rightarrow \cos(\theta) = -0.5$

Considerando cada uno de estos casos, $\theta$ es $-\pi$, $-\dfrac{2}{3}\pi$, $0$, $\dfrac{2}{3}\pi$ o $\pi$

Answer 3

Para $-\pi\leq\theta\leq\pi$: \begin{align*} 2\sin{\theta}\cos{\theta}+\sin{\theta}&=0 \\ \sin{\theta}\big(2\cos{\theta}+1\big)&=0 \\ \end{align*} Por lo tanto, $\sin{\theta}=0$ o $2\cos{\theta}+1=0$ .

1. Si $\sin{\theta}=0$, a continuación, $\theta\in\{-\pi,0,\pi\}$ .
2. Si $2\cos{\theta}+1=0$, a continuación, $\cos{\theta}=-1/2<0$, a continuación, $\theta\in(-\pi,-\pi/2)\cup(\pi/2,\pi)$ e lo $\theta\in\{-2\pi/3,2\pi/3\}$

La solución es $\theta\in\bigg\{-\pi,-\dfrac{2\pi}{3},0,\dfrac{2\pi}{3},\pi\bigg\}$ .