Una conjetura sobre la suma de potencia:$e^{ab}+e^{bc}+e^{ca}\geq 3e^{\sqrt{abc}}$ y$a+b+c=3$

Question

Hola tengo esto que proponemos :

Deje $a,b,c$ ser real números positivos tales que $a+b+c=3$ entonces tenemos : $$e^{ab}+e^{bc}+e^{ca}\geq 3e^{\sqrt{abc}}$$

Para una generalización tengo esta conjetura :

Deje $a_i$ ser $n$ real números positivos tales que $\sum_{i=1}^{n}a_i=n$ entonces tenemos (con $a_{n+1}=a_1$): $$\sum_{i=1}^{n}e^{a_ia_{i+1}}\geq ne^{\Big(\prod_{i=1}^{n}a_i\Big)^{\frac{1}{n-1}}}$$

En un primer momento me gustaría saber si existe contra-ejemplos y en un segundo tiempo, si es cierto que me gustaría algunos consejos .

Gracias de antemano .

Answer 1

Por Jensen $$e^{ab}+e^{ac}+e^{bc}\geq3e^{\frac{ab+ac+bc}{3}}\geq3e^{\sqrt{abc}}$ $ porque la última desigualdad es $$ab+ac+bc\geq\sqrt{3(a+b+c)abc}$ $ o después de la cuadratura de ambos lados $$\sum_{cyc}c^2(a-b)^2\geq0.$ $ La segunda desigualdad es incorrecta.

Pruebe $n=4$ , $a_1=a_3=\frac{1}{4}$ y $a_2=a_4=\frac{7}{4}.$

Answer 2

Para la primera, recordar $x\mapsto e^x$ es convexa. Por lo tanto, por la desigualdad de Jensen, $$f(ab)+f(bc)+f(ca)\geq 3f(\frac{ab+bc+ca}{3})=3\exp(\frac{ab+bc+ca}{3}),$$ donde $f(x)=e^x$. Ahora, observa que, $(ab+bc+ca)^2\geq 3abc(a+b+c)=9abc$. Por lo tanto, $\frac{ab+bc+ca}{3}\geq \sqrt{abc}$. y por lo tanto, con el hecho de que $f(\cdot)$ es creciente, llegamos a la conclusión, $$ e^{ab}+e^{bc}+e^{ca}\geq 3f(\frac{ab+bc+ca}{3})\geq 3e^{\sqrt{abc}}. $$ Para el segundo, estoy muy confiado en que este enfoque debe transferir sin problemas.