Función tal que $f^{(n)}(x) = \frac{x}{f(x)^n}$

Question

Sea $n$ un entero positivo fijo. Encuentra todas las funciones $f:(0, \infty) \to \mathbb{R}$ que pueden diferenciarse $n$ veces, de manera que $f^{(n)}(x) = \frac{x}{f(x)^n}$ si $f^{(n)}(x)$ es la $n$-ésima derivada de $f$.

Intenté diferenciar la identidad dada y obtuve $$f^{(n+1)}(x)=\frac{f(x)^n-nxf(x)^{n-1}f'(x)}{f(x)^{2n}}=\frac{f(x)-nxf'(x)}{f(x)^{n+1}}=\frac{1}{f(x)^n}-\frac{nxf'(x)}{f(x)^{n+1}}$$ Intenté relacionar esto con $f^{(n)}(x)$ pero las relaciones no me llevaron a nada. Además, si $n=2$, no pude encontrar ningún ejemplo de una función $f$ que satisfaga la ecuación.

Parece que las soluciones son muy complicadas según los comentarios. ¿Se simplifica el problema si reemplazamos $f(x)^n$ por $f^n(x)=(f \circ f \circ...\circ f)(x)$?

Answer 1

No es una respuesta (Simplemente no tenía suficiente espacio para poner todo esto en un comentario.)

Si tomamos $f^n(x)=(f\circ f \cdots \circ f) (x)$ como definición, ¿puede pasar algo más agradable? Por ejemplo, considera $n=2$ y restríngase al caso $$f(x) = Kx^\alpha,$$ $\alpha,K \in \Bbb R$ y $x \in \Bbb R^+$, de manera que $$f''(x)=K\alpha(\alpha-1) x^{\alpha-2}$$ y $$(f\circ f)(x) = K(Kx^\alpha)^\alpha,$$ entonces tu condición se convierte en $$K\alpha(\alpha-1)x^{\alpha-2} = \frac{x}{K^{1+\alpha}x^{\alpha^2}}.$$ Esto obliga a $$\alpha -2 = 1-\alpha^2 $$ es decir $$\alpha= -\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{13}}{2}.$$ Llama a estos dos valores $\alpha_i$, $i=1,2$. Entonces para el factor constante debemos tener $$K^{2-\alpha_i} = \frac{1}{\alpha_i(\alpha_i-1)}.$$ Dado que $\alpha_i(\alpha_i-1) >0$ podemos elegir $K$ para ser $$K_i = \left[\alpha_i(\alpha_i-1)\right]^{-\frac{1}{2-\alpha_i}},$$ con $i=1,2$. ¿Es útil esto? ¿Se puede extender esta solución a toda una familia de funciones? ¿Se puede generalizar este proceso para $n>2$?