¿Subespacio abierto o cerrado de un espacio vectorial?

Question

Consideremos un espacio vectorial $V$ en $\mathbb{C}$ con alguna norma (y topología inducida por esa norma). Estoy tratando de encontrar un subespacio $W \subset V$ tal que no es ni abierto ni cerrado en la topología mencionada anteriormente?

Motivación: He estudiado que todo espacio de Banach es esencialmente un subespacio cerrado de $\mathcal{C}(X)$ para algún espacio compacto de Hausdorff $X$ y por eso pensé que también podríamos tener alguna estructura para los espacios lineales normados si la respuesta a mi pregunta es negativa.

Answer 1

Para un ejemplo diferente, considere $C[0,1]$ con la norma uniforme. Por un teorema estándar (Stone-Weierstrass), el espacio $P$ de funciones polinómicas es denso en este espacio. Pero entonces, como $P$ es denso pero claramente no es igual a todo el espacio, no se puede cerrar en él.

La mayoría de los espacios de Banach estándar que conoces son separables, lo que, en la práctica, significa que tienen un subespacio denso "bonito". Ese subespacio denso es un subespacio no cerrado.

Answer 2

Hay que fijarse en los espacios de dimensión infinita. En los espacios de dimensión finita, un subespacio es siempre cerrado.

Un ejemplo para un espacio de dimensión infinita

Existe un teorema que afirma que una forma lineal $\varphi$ es continua si y sólo si su núcleo $W$ es un subespacio cerrado. Y si $\varphi$ es discontinuo, entonces el núcleo es denso en $V$ .

Por lo tanto, si encontramos una forma lineal no continua, su núcleo no puede ser cerrado según el teorema anterior. Y tampoco puede ser abierto ya que un subespacio abierto que es denso es el espacio $V$ sí mismo.

Toma $V=\{P \in \mathcal C([0,1]), \mathbb C) \mid P \mbox{ is a polynomial}\}$ , equipado con el $\sup$ norma. La forma lineal $\varphi: P \mapsto P(3)$ es discontinua. Para ver esto consideremos la secuencia $P_n(x) = (x/2)^n$ . La secuencia converge a cero para el $\sup$ norma pero $\lim\limits_{n \to \infty} \varphi(P_n) = \infty$ .

El núcleo $W$ de $\varphi$ ¡es el extraño animal que estás buscando!

Answer 3

Otras respuestas han mencionado que es imposible para un espacio dimensional finito, pero creo que sería bueno mencionar una prueba:

Si un espacio es de dimensión finita, entonces tiene una base finita $\{b_1, b_2, ... b_n\}$ . Dada una secuencia de vectores en el espacio $v_k$ cada vector puede escribirse como una combinación lineal de los vectores base: $v_k=\sum_{i=0}^n c_{i,k} b_i$ . Supongamos ahora que $v_k$ converge a algún límite $v$ . Entonces $v = \sum_{i=0}^n c_i b_i$ . Así que $\lim_{k \rightarrow \infty}\sum_{i=0}^n c_{i,k} b_i = \sum_{i=0}^n c_i b_i$ . Ahora $\lim_{k \rightarrow \infty} c_{i,k}b_i$ existe para cada $i$ por lo que podemos intercambiar la suma y el límite: $\sum_{i=0}^n\lim_{k \rightarrow \infty} c_{i,k}b_i = \sum_{i=0}^n c_i b_i$ . Si hay un subespacio que contiene $v_k$ para todos $k$ entonces podemos obtener una base del espacio mayor tal que el conjunto de vectores base del subespacio es un subconjunto de los vectores base del espacio mayor, y $c_{i,k}$ será cero para cualquier $i$ tal que $b_i$ no está en el conjunto de vectores base del subespacio. Así, $\lim_{k \rightarrow \infty} c_{i,k}$ será igual a cero para todos esos $i$ y $v$ será una combinación lineal de sólo vectores que están en el conjunto de vectores base del subespacio, y por lo tanto será un miembro del subespacio.

Esto demuestra que el límite de cualquier secuencia de vectores en el subespacio estará a su vez en el subespacio, y por tanto el subespacio será cerrado. Entonces, ¿dónde hemos utilizado la dimensionalidad finita? Cuando intercambiamos la suma y el límite, eso dependía de que la suma fuera finita. Para sumas infinitas, la identidad $\sum_{i =0}^{\infty} \lim_{k \rightarrow \infty} a_{i,k}= \lim_{k \rightarrow \infty}\sum_{i=0}^{\infty} a_{i,k}$ no es necesariamente válida. Para encontrar un subespacio que no sea cerrado, necesitamos un espacio de dimensión infinita en el que falle esta identidad (o, como menciona @mathcounterexamples.net, encontrar formas lineales no continuas, lo que equivale a que falle la identidad).

Answer 4

Ningún subespacio propio de un espacio lineal normado puede ser abierto. ¿Te da eso la respuesta? Hechos adicionales: todo espacio lineal normado de dimensión infinita contiene un subespacio que no es cerrado. De hecho, existen funcionales lineales discontinuos y sus núcleos no son cerrados.