Tengo que demostrar/desmentir esto:
Si $\det(A+X) = \det(B + X)~ \forall X \in M_{n \times n} (\mathbb F) \rightarrow A = B$
Creo que es cierto, pero no se me ocurre una forma directa de demostrarlo. ¡Se agradece cualquier ayuda!
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Did
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Una caracterización del determinante es que $$ \det M=\sum_{s\in\mathfrak S_n}\varepsilon(s)\cdot\prod_{i=1}^nM_{is(i)}, $$ donde $\varepsilon(s)$ es la firma de la permutación $s$ en $\mathfrak S_n$ . Aplicando esto a $M=A+X$ se obtiene un polinomio en $\mathbb F[X_{ij},1\leqslant i,j\leqslant n]$ a saber, $$ \det(A+X)=\sum_{s\in\mathfrak S_n}\varepsilon(s)\cdot\prod_{i=1}^n(X_{is(i)}+A_{is(i)}). $$ Arreglar $t$ en $\mathfrak S_n$ y $1\leqslant k\leqslant n$ . El coeficiente de $$ \prod_{i\ne k}X_{it(i)}, $$ en $\det(A+X)$ es $\varepsilon(t)A_{kt(k)}$ por lo que el polinomio $\det(A+X)$ determina plenamente $A$ .
Dejemos que $M_1$ sea el conjunto de matrices tales que la primera fila de todas las matrices en $M_1$ es el negativo de la primera fila de $A$ . Entonces $\det(A+X)=0$ para todos $X\in M_1$ , por lo que también tenemos $\det(B+X)=0$ para todos $X\in M_1$ .
Afirmo que la primera fila de $B$ debe ser igual a la primera fila de $A$ . Supongamos, por el contrario, que no es así. Entonces todas las matrices de la forma $B+X, X\in M_1$ comparten la misma primera fila no nula (= la primera fila de $B-A$ ). Pero mediante una elección adecuada de $X$ de $M_1$ podemos hacer el resto de $n-1$ filas de $B+X$ para ser lo que queramos. Como la primera fila de $B+X$ se supone que es distinto de cero, podemos encontrar un $X\in M_1$ tal que $\det(B+X)\neq0$ . Esto es una contradicción.
Es evidente que podemos repetir el argumento para cualquier otra fila, por lo que podemos concluir que $A=B$ .
Chris Ballance
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Acabo de ver este problema hoy, así que esta es una respuesta tardía.
Podemos utilizar el mismo truco que utilicé en una respuesta a otra pregunta . Por reducciones elementales de fila/columna, tenemos $B-A=P(I_r\oplus0)Q$ para algunas matrices invertibles $P$ y $Q$ con $r=\operatorname{rank}(B-A)$ . Por lo tanto, al poner $Y = P^{-1}(A+X)Q^{-1}$ la suposición dada es equivalente a $\det(Y)=\det((I_r\oplus0) + Y)$ para todos $Y$ . Como esta condición no se cumple si $r\neq0$ y $Y=0\oplus I_{n-r}$ concluimos que $r$ debe ser cero, es decir $B=A$ .
