En el triángulo$\triangle ABC$,$|AB|^3 = |AC|^3 + |BC|^3$. Pruebalo $\angle ACB > 60^\circ$.

Question

La siguiente es una pregunta que estaba en la final de la Flandes Olimpiada de Matemáticas de 2018:

En el triángulo $\triangle ABC$, $|AB|^3 = |AC|^3 + |BC|^3$. Demostrar que $\angle ACB > 60^\circ$.

En esta competencia, los puntos son asignados para la formulación de un riguroso y matemáticamente a prueba de sonido.

He probado el de arriba por la contradicción. Deje $\alpha = \angle BAC, \beta = \angle CBA, \gamma = \angle ACB$. Supongamos $\gamma \le 60^\circ$:

$$\gamma \le 60^\circ \iff \sin(\gamma) \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$$

La aplicación de la regla del seno:

$$\frac{\sin(\alpha)}{|BC|} = \frac{\sin(\beta)}{|AC|} = \frac{\sin(\gamma)}{|AB|}$$

$$\iff\frac{|AC|^3}{|AB|^3} + \frac{|BC|^3}{|AB|^3} = \frac{\sin^3(\alpha) + \sin^3(\beta)}{\sin^3(\gamma)} = 1$$

$$\iff \sin^3(\alpha) + \sin^3(\beta) = \sin^3(\gamma) \le \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^3$$

$$\iff\sin(\alpha) \le \frac{\sqrt(3)}{2}, \, \sin(\beta) \le \frac{\sqrt(3)}{2}\tag{1}$$

También sabemos que:

$$\alpha + \beta = 180^\circ - \gamma \ge 120^\circ\tag{2}$$

$$\alpha + \beta < 180^\circ\tag{3}$$

Sin pérdida de generalidad, supongamos $\alpha \ge \beta$. De $(1)$, $(2)$ e $(3)$, entonces se sigue que:

$$a \ge 120^\circ, \, \beta \le 60^\circ$$

$$\implies |BC| > |AB| \qquad \unicode{x21af}$$

¿Esta respuesta es suficiente? Puede la notación de ser mejorado? Existen enfoques alternativos para resolver este problema?

Answer 1

En la notación estándar, debemos demostrar que $$\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}<\cos60^{\circ}$ $ o $$c^2>a^2-ab+b^2$ $ o $$\sqrt[3]{(a^3+b^3)^2}>a^2-ab+b^2$ $ o $$(a+b)^2(a^2-ab+b^2)^2>(a^2-ab+b^2)^3$ $ o $$ab>0,$ # que es cierto.

Id est, $$\measuredangle ACB>60^{\circ}$ $ y hemos terminado!

Answer 2

Con su respuesta, para justificar $\alpha \ge 120°$ significa que usted necesita para excluir la posibilidad de $\alpha = 60°$, que tal vez debería indicar explícitamente. Además, tenga en cuenta el comentario de WW1 , de alguna manera justificar de qué lado es más grande.

También, aquí es una solución alternativa. Con la ecuación de

$$\left\lvert AB \right\rvert^3 = \left\lvert AC \right\rvert^3 + \left\lvert BC \right\rvert^3 \tag{1}\label{eq1}$$

desde todas las longitudes son valores positivos, automáticamente tiene que

$$\left\lvert AB \right\rvert \gt \left\lvert AC \right\rvert \tag{2}\label{eq2}$$ $$\left\lvert AB \right\rvert \gt \left\lvert BC \right\rvert \tag{3}\label{eq3}$$

Por lo tanto, $AB$ es el lado más largo. El mayor ángulo opuesto al lado más largo (esto es bastante conocidos en general, pero se puede demostrar utilizando el seno de la ley para el ángulo agudo triángulos, y la ley del coseno de los ángulos obtusos, tal como se muestra en El ángulo más grande en un triángulo). Si $\angle ACB \le 60°$, luego el otro, $2$ de los ángulos son de $\lt 60°$, dando una suma de $\lt 180°$, lo cual no es cierto. Como tal, $\angle ACB \gt 60°$.

También, tenga en cuenta que esto sólo depende de la muestra que $AB$ es el lado más largo. Cualquier ecuación que proporciona este también se dan a la misma conclusión.

Answer 3

$\blacksquare$ Alternativamente, hay una manera más simple de demostrar que efectivamente $\angle ACB>60º$.

Lema (porla Proposición 18 de Euclides y sus Elementos)

En cualquier triángulo, el ángulo opuesto al mayor lado es mayor

De $|AB|^3=|AC|^3+|BC|^3$ deducimos $|AB|>|AC| \; \text{and} \; |AB|>|BC|$

De ello se desprende que $$\angle ACB>\angle BAC \; \text{and} \;\angle ACB>\angle CBA$$ Por lo tanto, $$\angle ACB>\frac{180°}{3}=60°$$ desde que el triángulo no es equilátero. $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\square$