Sea $S$ una superficie orientable cerrada y $R$ un anillo conmutativo. Dado un elemento distinto de cero $\alpha \in H^1(S;R)$, ¿existe una cubierta finita $p : \tilde{S} \to S$ tal que $p^*(\alpha) = 0 \in H^1(\tilde{S}; R)$ ?
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Mike Miller
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No. Esto no tiene nada que ver con $S$ ser una superficie. En lo que sigue suponemos es que $S$ puede ejecutar la clasificación de la teoría de cubiertas (trayectoria-conectado, localmente trayectoria-conectado, semilocally simplemente conectado). Para cualquier CW complejo.
Hay un isomorfismo natural $H^1(S;G) \cong \text{Hom}(\pi_1 S, G)$ cualquier $S, G$. Dado cualquier elemento $\phi \in \text{Hom}(\pi_1 S, G)$si $f: S' \to S$ es cubrir el espacio, el correspinding mapa de $\phi f_* = 0$ si y sólo si $f$ factores a través de la cubierta correspondiente a $\text{ker}(\phi) \subset \pi_1 S$. (Utilizamos aquí la clasificación de cubrir espacios más razonable espacios.)
Si $\text{ker}(\phi)$ tiene una infinidad de índice, a continuación, la cubierta correspondiente a $\text{ker}(\phi)$ es un infinito de la cubierta. Por ejemplo, si $G$ es infinito y $\phi$ es surjective (o al menos su imagen se ha finito índice), entonces usted no puede matar a $\phi$ en un número finito de la cubierta.
Porque cada subgrupo de $\Bbb Z$ es cero o infinito, en particular, no se puede matar a cualquiera que no sea trivial clase de $H^1(S;\Bbb Z)$ en un número finito de la cubierta.
No; de hecho, si $R$ es de torsión libre, nunca es tan finito de la cubierta. Si $p:\tilde{S}\to S$ es de un número finito de la cubierta, a continuación, $p_*\pi_1(\tilde{S})$ ha finito índice en $\pi_1(S)$. Nosotros, naturalmente, puede identificar a $H^1(S;R)$ con $\operatorname{Hom}(\pi_1(S),R)$ y de manera similar para $\tilde{S}$. Si $p^*(\alpha)=0$, lo que significa que $\alpha$ se desvanece en $p_*\pi_1(\tilde{S})$. Pero eso implica $\alpha$ se desvanece en todos los de $\pi_1(S)$ (un homomorphism de un grupo a $R$ que se desvanece en un número finito de índice subgrupo debe desaparecer en todo el grupo, ya que $R$ es de torsiones). Por lo tanto $p^*(\alpha)=0$ implica $\alpha=0$.
Como alternativa, puede utilizar la dualidad de Poincaré: si $\alpha\neq 0$existe $\beta\in H^1(S;R)$ tal que $\alpha\cup\beta\neq 0$, y, a continuación, $p^*(\alpha\cup\beta)\neq 0$ desde $p^*:H^2(S;R)\to H^2(\tilde{S};R)$ es la multiplicación por el grado de $p$ que es inyectiva si $R$ es de torsiones.
