tl;dr: he tratado de construir una forma diferente de formalizar "espacios topológicos" que a través de bloques abiertos o barrios. No he visto a este enfoque, pero es posible que haya sido hecho antes. La definición de como se encuentra actualmente, no es satisfactoria (ver discusión más adelante).
t-topologías
Considere la posibilidad de un par de $(X,t)$ donde $t:X\to \mathcal P(\mathcal P(X))$, es decir, $t(x)\subseteq \mathcal P (X)$ (que intuitivamente ofrece para cada $x$ el conjunto de los subconjuntos de a$X$ que "x toques") satisface la siguiente axioma:
Axioma 1. Para cualquier $x\in X$ y cualquier $U\subseteq S\subseteq X$si $U\in t(x)$ entonces $S\in t(x)$. (intuitivamente, si $x$ "toca" el conjunto de $U$, entonces también se toca el mismo juego con diferentes adiciones a la misma).
Axioma 2. Para cualquier $x\in X$ y cualquier $U,V\subseteq X$si $U,V\notin t(x)$ entonces $U\cup V\notin t(x)$ (extendido fácilmente a infinitas sindicatos). (intuitivamente, si $x$ no la toca cualquiera de los conjuntos de $U,V$, entonces también no toque el conjunto combinado).
Llame a este par $(X,t)$ "touch-topología" o "t-topología" (porque son definidos a través de "toque de relaciones", en lugar de abrir los conjuntos). Un par induce una topología: $(X,T)$, donde $U\in T$ fib $\forall x\in U, U^c\notin t(x)$. (Intuitivamente, un conjunto es abierto si ninguno de sus miembros tocar nada fuera de juego).
De hecho, esta es una topología:
el conjunto vacío es, obviamente, en $T$.
para cualquier $U_i\in T$, sabemos que para todos los $x\in U_i$, $U_i^c\notin t(x)$, por lo tanto desde $(\bigcup _j U_j)^c\subseteq U_i^c$ tenemos $(\bigcup _j U_j)^c \notin t(x)$ por el axioma 1. (intuitivamente, si $x$ toques nada fuera de $U_i$, entonces también no tocar nada fuera de $\bigcup_j U_j$).
para cualquier $U,V\in T$, sabemos que para cualquier $x\in U\cap V$ tenemos $U^c\notin t(x)$ e $V^c \notin t(x)$. Por tanto, por el axioma 2, $U^c\cup V^c = (U \cap V)^c\notin t(x)$. Por lo tanto $U \cap V\in T$. (extender fácilmente a infinitas intersecciones).
Definición. Deje $\mathcal X=(X,t_X)$, $\mathcal Y=(Y,t_Y)$ ser t-topologías. Una función de $f:X\to Y$ es contacto continuo en $x$ si para todas las $U\in t_X(x)$ sostiene que $f(U) \in t_Y(f(y))$. (intuitivamente, una función es táctil continua si no cambia las cosas que un punto que se toca).
Teorema. Deje $\mathcal X= (X,t_X), \mathcal Y = (Y,t_Y)$ ser táctil de topologías. Si una función $f:X \to Y$ es t-continua en $x$ , entonces también es "clásico" continua en $x$ en las topologías $(X,T_X), (Y,T_Y)$ inducida por $\mathcal X$ e $\mathcal Y$.
prueba. Suponga $U\in T_Y$ (un conjunto abierto). Debemos mostrar ese $f^{-1}(U)\in T_X$. Desde $U\in T_Y$, sabemos que para todos los $y\in U$, $U^c\notin t_Y(y)$. Por lo tanto, por t-continuidad, $f^{-1}(U^c)\notin t_X(x)$ para todos los $x\in f^{-1}(U)$. Por lo tanto $f^{-1}(U)\in T_X$.
No creo que podemos demostrar que la continuidad implica t-continuidad, aunque no estoy seguro.
Lo que falta de este enfoque. Mi intención con este era representar una topología de acuerdo a los conjuntos de que un objeto "toques", más bien que de acuerdo a "abrir sets" (es decir, conjuntos cuyos elementos no toque la parte de afuera).
Este enfoque es similar a la de "barrio" de la definición de la topología.
Sin embargo, mi enfoque no es completa, en el sentido de que no podemos convertir cualquier topología arbitraria en un único t-topología. Es decir, para cualquier topología, hay varios t-topologías (no isomorfos) que inducen a que la topología: por ejemplo, considerar la topología inducida por un grafo dirigido $(X,R)$ ($R$ es una relación en $X$ denotando las flechas del gráfico), donde el t-topología es: dado un nodo $x$, $U\in t_X(x)$ fib $U$ contiene al menos un nodo $y$ tal que $Rxy$. No es difícil mostrar que el t-topología de la clausura transitiva de cualquier gráfico induce la misma topología como la t-topología de la gráfica en sí.
Mis preguntas son:
Tiene este enfoque se ha hecho antes?
Se puede añadir un tercer axioma de modo que hay un bijection entre las topologías y t-topologías? Y para que t-continuidad y la "clásica" de la continuidad son equivalentes?
hay algún problema con este enfoque?
