valor de$x$ en ecuación trigonométrica

Question

Encuentra % real $x(0<x<180^\circ)$ en

$\tan(x+100^\circ)=\tan(x-50^\circ)+\tan(x)+\tan(x+50^\circ)$

lo que trato

$\displaystyle \tan(x+100^\circ)-\tan(x)=\tan(x+50^\circ)+\tan(x-50^\circ)$

$\displaystyle \frac{\sin(100^\circ)}{\cos(x+100^\circ)\cos x}=\frac{\sin(2x)}{\cos(x+50^\circ)\cos(x-50^\circ)}$

$\displaystyle \frac{\sin(100^\circ)}{\cos(2x+100^\circ)+\cos(100^\circ)}=\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)+\cos(100^\circ)}$

¿Cómo puedo resolver más

Ayudame por favor

Answer 1

Deje $\cos100^\circ=a$ e $\sin100^\circ=b$; deje $\cos2x=X$ e $\sin2x=Y$. La última ecuación puede ser escrita $$ \frac{b}{aX-bY+a}=\frac{Y}{X+a} $$ es decir, $$ bX+ab=aXY-por^2+aY $$ junto con $X^2+Y^2=1$. Esta es la intersección entre una hipérbola y un círculo, por lo general, un grado 4 de la ecuación.

Answer 2

Utilizando el teorema de adición de $\tan $ consigue $$ \frac{\tan(x) +\tan(100^\circ)}{1 - \tan(x) \tan(100^\circ)}=\frac{\tan(x) - \tan(50^\circ)}{1 + \tan(x) \tan(50^\circ)}+\tan(x)+\frac{\tan(x) + \tan(50^\circ)}{1 -\tan(x) \tan(50^\circ)} $$ Deje $y= \tan(x)$, entonces este es $$ \frac{y +\tan(100^\circ)}{1 - y\tan(100^\circ)}=\frac{y- \tan(50^\circ)}{1 + y \tan(50^\circ)}+y+\frac{y + \tan(50^\circ)}{1-y \tan(50^\circ)} $$ Compensación denominadores da $$ 0 = - (y +\tan(100^\circ))(1 -y^2 \tan^2(50^\circ))+(y -\tan(50^\circ))(1-y \tan(50^\circ))(1 - y\tan(100^\circ))\\ +y (1 -y^2 \tan^2(50^\circ))(1 - y\tan(100^\circ)) + (y +\tan(50^\circ))(1 +y \tan(50^\circ))(1 - y\tan(100^\circ)) $$

Multiplicarse da $$ 0 = -\tan^2(50) - 2 y \tan(100) (1 + \tan^2(50)) + y^2 (-1 - 3 \tan^2(50)) + y^4 $$

Con la ayuda de Wolframalpha, la única solución positiva a este cuarto orden de la ecuación es $\tan x= y \simeq 1.90326$ o $x \simeq 62.28^\circ$ o $x \simeq 0.346 \pi \simeq 1.087$ (en radianes). Me pregunto si este "ajuste" de algo especial.

Lo único negativo, la solución es $\tan x= y \simeq -1.73205$ que da $x \simeq 120^\circ$. Ahora esto puede ser verificado a ser exactamente $x =120^\circ$ ya que, de hecho, el uso de la ecuación original, $$ \tan(220^\circ)=\tan(70^\circ)+\tan(120^\circ)+\tan(170^\circ) $$ sostiene.

Aunque este tratamiento es un poco feo, tiene la ventaja de que muestra las dos únicas soluciones para el problema.