Si $X,Y$ son dos campos vectoriales equivalentes en dos conjuntos abiertos $A$ y $B$ tal que $A\cup B = M$ . Son $X$ y $Y$ ¿equivalente?

Question

Sea $X$ y $Y$ sean campos vectoriales suaves sobre $\mathbb{T}^2$ .

Definición 1: Sea $A$ sea un subconjunto abierto de $\mathbb{T}^2$ decimos que $X$ y $Y$ son equivalentes en $A$ si existe un homeomorfismo $h: A \to A$ tal que los mapas de órbitas de $\left.X\right|_{A}$ en órbitas de $\left.Y\right|_A$ preservando la orientación de las órbitas.

Definición 2: Decimos que $X$ y $Y$ son equivalentes si $X$ y $Y$ son equivalentes en $\mathbb{T}^2$ .

Entonces surge mi pregunta

Mi pregunta: Si existe $A,B \subset \mathbb{T}^2$ subconjuntos abiertos de $\mathbb{T}^2$ tal que:

• $X$ y $Y$ son equivalentes en $A$ y $B$ .
• $A \cup B = \mathbb{T}^2$ .

¿Es cierto que $X$ y $Y$ ¿son equivalentes?

Esto parece cierto, pero no he encontrado la forma de demostrarlo.

¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

Esto no es cierto. Por ejemplo, con $\mathbb{T}^2 = \mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$ Toma $X = (1,0)$ el campo vectorial unitario horizontal, de modo que todas las órbitas de $X$ son cerrados (círculos), y tomar para $Y=(1,a)$ un campo vectorial constante con una pendiente irracional $a$ de modo que $Y$ no tiene ninguna órbita cerrada. Obviamente $X$ y $Y$ no son equivalentes. Sin embargo, si se eligen dos subintervalos abiertos adecuados $I,J \subset \mathbb{T}^1 = \mathbb{R}/\mathbb{Z}$ con $I \cup J = \mathbb{T}^1$ y defina $A = I \times \mathbb{T}^1$ y $B = J \times \mathbb{T}^1$ entonces $X$ y $Y$ son fácilmente equivalentes en $A$ y $B$ ya que ambos son equivalentes al flujo horizontal sobre un cilindro.