$\phi: K \to K$ ser un $F$ -incorporación con ${tr.}\;{deg}(K/F)$ finito entonces $\phi$ es suryente.

Question

Dejemos que $K$ sea un campo algebraicamente cerrado y $F$ sea un subcampo de $K$ con ${tr.}\;{deg}(K/F)$ finito. Si $\phi: K \to K$ ser un $F$ -inclusión demuestran que $\phi$ es suryente.

Conozco el resultado cuando ${tr.}\;{deg}(K/F)=0.$ Necesito ayuda para demostrarlo en el caso más general. Gracias

Answer 1

Considere la secuencia de extensiones $K/\phi(K)/F$ . Desde $\newcommand\trdeg{\operatorname{tr.deg}}\trdeg K/F=n<\infty$ tenemos que $\trdeg\phi(K)/F=n$ también, así que $\trdeg K/\phi(K) =0$ . Sin embargo, $\phi(K)\cong K$ es algebraicamente cerrado, por lo que como $K$ es una extensión algebraica de $\phi(K)$ Debe ser trivial. Es decir, tenemos $K=\phi(K)$ .