Un par de $(X,A)$ de espacios topológicos se dice que el homotópica de extensión de la propiedad si $\forall Y$ espacio topológico, $f:X-> Y$ mapa continuo y $H:A\times[0,1]\rightarrow Y$ homotopy de $f$existe $\tilde H : X\times[0,1]\rightarrow Y$ ampliar H.
En clase nos dio el siguiente lema:
$(X,A)$ tiene la h.e.p. $\Leftrightarrow X\times[0,1]$ retrae a $(X\times\{0\})\ \cup\ (A\times[0,1])$
Creo que necesito $A$ a ser cerrado para que esto funcione, pero probablemente soy mal, así que voy a esbozar mi argumento para "$\Leftarrow$" así que tal vez alguien puede manchar mi error.
Si $r$ se dice de retracción, en la clase que hemos definido simplemente $\tilde H$ a $f\circ r$ on $r^{-1}(X\times \{0\})$ e $H\circ f$ a $r^{-1}(A\times[0,1])$ y luego afirmó que esto está bien definido. Sin embargo, no veo cómo esta función será continua si no mediante el encolado de lema, que necesita Un ser cerrado en X.
Me estoy perdiendo algo?
Gracias.
