$ \bigcup_{n=1}^{\infty}\{z\in\Bbb C:z^n=1\}=\{z\in\Bbb C:|z|=1\}$?

Question

Es $$ \bigcup_{n=1}^{\infty}\{z\in\Bbb C:z^n=1\}=\{z\in\Bbb C:|z|=1\}$$my argument is that the argument of the elements of the first set are rational multiples of $ \ pi$ whereas the second set also consists of elements with irrational multiples of $ \ pi $ . Pero no estoy tan seguro, todavía hay alguna duda.

Answer 1

Esos dos conjuntos ciertamente no son iguales.

$\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}\{z\,|\,z^n=1,n\in \mathbb N\}$ es contable ya que es una unión contable de conjuntos finitos, mientras que $\{z/|z|=1\}$ tiene la cardinalidad del continuo .

Answer 2

Su argumento es correcto.

Por ejemplo, $e^{\sqrt{2} \pi i}$ no está en el primer conjunto.