¿Los octoniones contienen infinitas copias de los cuaterniones?

Question

Nota: por "infinidad", estoy seguro de que siempre me refiero a $\beth_1$ muchos aquí.

Nos puede mostrar fácilmente los cuaterniones contener un número infinito de copias de $\Bbb C$ debido a que, dado cualquier vector unitario $\in\Bbb R^3$ de los componentes de la $b,\,c,\,d$, $\Bbb R[h]$ es isomorfo a $\Bbb C$ con $h:=bi+cj+dk$. Claro, estos no son "independientes" copias de $\Bbb C$ en el mismo camino de $\Bbb R[i],\,\Bbb R[j],\,\Bbb R[k]$ . Pero aún así es de interés ya que, por ejemplo, una familia de tensor de productos a través de matrices utilizando diferentes copias de $\Bbb C$ proporcionan una fácil definición de un determinante, aunque en general las matrices de cuaterniones prohibir esto. Por ejemplo, si $A_1,\,\cdots,\,A_n$ son matrices y $O$ denota una contextualmente apropiado matriz cero, el bloque de la matriz $$\left(\begin{array}{cccc} A_{1} & O & \cdots & O\\ O & A_{2} & \cdots & O\\ \vdots & \vdots & \ddots & O\\ O & O & \cdots & A_{n} \end{array}\right)$$can be said to have determinant $\prod_l\det A_l$. El orden es importante, pero uno en particular es natural.

Me puede estar pasando por alto algunos detalles del beneficio por encima de la arbitrariedad de muchas copias de $\Bbb C$ en $\Bbb H$, en el que una muy ricos los desplazamientos de la familia de las matrices que se construye, pero mi pregunta no es sobre eso. Me pregunto cómo nos gustaría que nos demuestra que hay infinitamente muchas copias de $\Bbb H$ en $\Bbb O$. (De nuevo, bloque de matrices de proporcionar un beneficio, en este caso heredar la asociatividad de la $A_l$.) Tengo la sospecha de una prueba que admite el dibujo siguiente:

• En $\Bbb O$, a crear algunos de los $h_1,\,h_2$ cada análoga a $i\in\Bbb C$, generando un álgebra asociativa y de satisfacciones $h_1h_2=-h_2h_1$;
• Tenga en cuenta que cualquier par de las raíces cuadradas de los $-1$ puede servir de modelo a los cuaterniones viz. $i=h_1,\,j=h_2,\,k=h_1h_2$;
• Mostrar el de arriba se puede hacer en una infinidad de maneras diferentes.

Por supuesto que hay infinidad de maneras de elegir el par $(h_1,\,h_2)$, pero $\Bbb R[h_1,\,h_2]$ no siempre van a ser un conjunto diferente para estas parejas. Por eso sospecho que la prueba requiere de un par de inteligente que yo-que salpican t-cruces.

Answer 1

Sí. Uno puede mostrar los siguientes 2 cosas:

1. Cualquier octonion $x$ no $\mathbb R$ genera una subalgebra $A$ isomorfo a $\mathbb C$.

2. Para cualquier octonion $y$, el subalgebra generadas $B$ por $x$ e $y$ es asociativa.

Este debe ser cubierto en los tratamientos de la composición de álgebra, por ejemplo, es probablemente en Springer-Veldkamp.

Por lo tanto, si tomamos $y$ fuera de $A$ en 1, por Frobenius de la clasificación de $\mathbb R$-álgebras de división, $B$ debe ser isomorfo a $\mathbb H$ (a priori puede no ser obvio $B$ es el de la división, pero usted puede conseguir esto a posteriori de Frobenius teorema de como colindantes inversos a $B$, que necesariamente se encuentran en $\mathbb O$, aún le da un álgebra asociativa), y por lo tanto las 4 dimensiones del espacio abarcado por el $1, x, y, xy$. Ya que ningún conjunto finito de $\mathbb R^4$ subespacios de $\mathbb R^8$ cubierta $\mathbb R^8$, se obtiene un número infinito de copias de $\mathbb H$.

Decir que se obtiene (al menos) la cardinalidad del continuo copias de $\mathbb H$, es suficiente para mostrar

3. Para cualquier nonreal octonion $z$, no es una subalgebra $B \simeq \mathbb H$ como en el anterior que no contengan $z$.

Para ver esto, tome $x$ como en el anterior no se en $\mathbb R z$. A continuación, $x$ e $z$ generar un espacio de $B' \simeq \mathbb H$. Simplemente tome $y \not \in B'$. A continuación, el álgebra $B$ generado por $x$ e $y$ no puede contener $B'$ desde $B \ne B'$ pero $\dim B = \dim B'$.