El significado físico de una forma simpléctica.

Question

Así que he estudiado un poco acerca de la geometría simpléctica, y sé que el espacio de fase es una variedad simpléctica, y la forma simpléctica induce un soporte de poisson. Sin embargo, ¿cuál es el significado físico de la forma simpléctica? Quizás sea simplemente lo mismo que preguntar cuál es el significado del soporte de poisson. ¿Qué dice el soporte de Poisson sobre un sistema? ¿Y cuál es el significado físico de los observables?

Answer 1

Este tema es muy profundo, por lo que mi respuesta apenas roza la superficie, sin embargo, creo que usted está buscando una intuitiva del significado de la forma simpléctica. Considerar el estándar de la forma simpléctica

$$ \omega = \sum_i d x_i \wedge d \lambda_i $$

Esto también puede ser escrito como

$$ \omega = \begin{bmatrix} \mathbf{0} & \mathbf{I} \\ -\mathbf{I} & \mathbf{0} \end{bmatrix} $$

Ahora considere una matriz de rotación

$$ R_\theta = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix} $$

Mediante el establecimiento $\theta = 90^o$, encontrará los datos de estos tensores son equivalentes. Ergo el estándar simpléctica forma es muy similar a una matriz de rotación que gira vectores de 90 grados. Considerar la forma simpléctica de Hamiltoniana de la mecánica

$$ dH = \iota_{X_H} \omega $$

donde $dH$ es el exterior derivada de la Hamiltoniana y $\iota$ es el interior de derivados. Este exterior derivado genera un covector campo cuyo covectors punto en la dirección de steepest descent. Rotar estas covectors 90 grados y el punto tangencial a los conjuntos de nivel de $H$. En Hamiltoniana de la mecánica, el movimiento casi siempre se encuentra en el nivel de los conjuntos de $H$.

En definitiva, me gusta pensar acerca de la forma simpléctica como una matriz de rotación que codifica correctamente la estructura de la mecánica, pero ser conscientes de que debido a su diferencial geométricas de la naturaleza, es mucho más profundo que el plomo.

Answer 2

Antes de empezar, me gustaría dispuestos a admitir que las matemáticas que hay detrás de este tema está más allá de mi habilidad. Pregunta lo que escribo. Y por favor, si ven nada de malo, de comentarios, de modo que puedo corregir.

Me llegó a través de la geometría simpléctica como parte del estudio de los grupos. Grupo de teoría se puede resumir como el estudio de la simetría. La simetría es fascinante para mí, porque permite hacer declaraciones acerca de un sistema que de otro modo no se entiende. Por ejemplo, si creo un par de enredados electrones, no puedo saber si uno es girar hacia arriba o hacia abajo, pero puedo crear en una simétrica de manera tal que si uno es el otro está abajo, y viceversa. Que puedo hacer experimentos que tomar ventaja de esto, como se hace con el quantum de cifrado. En un nivel macroscópico, si estoy de combate de artes marciales, yo no sé que mi rival es de puñetazos, pero sí sé que dondequiera que él golpea, hay una posición correspondiente se debe retorcer su cuerpo en para evitar el desgarro de los tendones. Esto puede ser usado en modo fascinante. Si puedo encontrar un lugar en el que su cuerpo debe ser si él lanzó un golpe de puño, pero donde su cuerpo no se si él no lanzar un golpe, y puedo llegar en primer lugar, que puedo asegurarme de que me castigue para que lanzando un puñetazo si él lo pone, pero no duele, si él no lo tires. (Esto es a menudo pasado por alto en el combate, sino en lugares más civilizados, ser capaz de hacer algo que sólo duele, ellos si están haciendo las cosas mal, es muy apreciada).

Entonces, ¿cuál es el corchete de Poisson? El filósofo en mí diría que su curiosidad acerca de cómo los objetos cambian de estado a lo largo del tiempo (evolución en el tiempo), o que podemos haber desarrollado nuestro sentido de tiempo para tomar ventaja de una aparente simetría en el mundo que nos rodea. Los sistemas físicos parecen evolucionar de esta manera si usted pensar en ellos en términos de espacio de fase. Dicho en otra forma, si no podemos sentido, el tiempo de evolución del sistema capturados por el corchete de Poisson, por lo general, no pensar en ella como física. Aplicamos términos metafísicos, tales como la "agencia" de los individuos.

Lo que es importante acerca de la forma simpléctica de las ecuaciones de Hamilton es que señala que ninguna simetría en el tiempo de evolución del mundo físico debe ser un symplectomorphism (en particular, un Hamiltoniano symplectomorphism). Esto se vincula a las características observables. Si desea dice nada sobre el estado de un sistema, usted necesita saber lo suficiente acerca de un estado en el pasado, o usted necesita el estado de algo que puede ser comprobado con la simetría. Si quiero decir algo sobre el estado de un electrón, me necesita tener medido en ese estado, o necesito algo de estado puedo saber por simetría, como el resultado de la interacción con sus enredados par.

Uno de los aspectos clave de la Hamiltoniana de la mecánica es la capacidad para definir transformaciones canónicas. Estas son las transformadas de cómo el modelo de un sistema que preservar Hamiltoniana de la mecánica (lea: no romper la física). Que vamos a empezar con un sistema que se rige por las leyes de la física (tal vez los estados de los electrones en coordenadas cartesianas) y la transforman en otro sistema que se rige por las leyes de la física (tal vez el mismo electrones, pero visto en coordenadas esféricas).

El simpléctica forma de las ecuaciones de Hamilton da lugar a la del teorema de Liouville, que establece que estas transformaciones canónicas preservar los volúmenes en el espacio de estado. En otras palabras, si queremos modelar el mundo a través de simpléctica formas, nos encontramos con este volumen la preservación de comportamiento se produce. Si el modelo con otras herramientas, no ocurre necesariamente.

Este es un gran problema para las características observables. En un sistema cuántico, hay un espacio de fases que describen el sistema. Cuando nosotros observamos, podemos configurar nuestro aparato de prueba a prueba de una manera que es fácil de entender en un sistema de coordenadas (tales como "giro" en la "vuelta abajo"). Nos muestran que las simetrías en el sistema garantizará un tiempo de evolución que conduce a una respuesta o la de otros. Ahora ya sabíamos que el espacio de fase de la instalación del sistema, se puede aplicar una transformación canónica para ir desde el sistema de coordenadas que hemos utilizado para describir el sistema en primer lugar al sistema de coordenadas que queremos utilizar para la medición de la prueba.

Y cuando hacemos esto, podemos ver al instante de incertidumbre. Dado que el volumen del espacio de fases debe ser preservada y que efectivamente está apretando el espacio de fase en una dimensión, otra dimensión debe expandirse con el fin de preservar el volumen. Se puede demostrar esto en cualquier número de formas, y no sólo con simpléctica formas, pero simpléctica formas de hacer lo obvio.

Pero en fin, debo de cera filosófico. Lo que es importante acerca de estas formas no es necesariamente que son fundamentales a la realidad. Que de hecho parecen ser fundamentales para la física. Si usted cree que la realidad consiste solamente en el mundo físico, entonces usted va a encontrar que deben ser fundamentales a la realidad. Pero si consideramos que su posible podría haber más, la importancia de estas formas obtiene poco más peculiar. Puede ser que ellos son importantes porque los seres humanos han encontrado para ser útil de la lente con la que se pueda ver la realidad que les rodea. Así se puede atribuir importancia a estas formas simplemente porque son importantes para lo que vimos en el pasado, y los vemos porque nos atribuye importancia para ellos en el pasado.