¿Puede un cuadrado perfecto ser divisible dos veces por $q^{\frac{q+1}{2}} + 1$, donde $q$ es un número primo con $q \equiv 1 \pmod 4$?

Question

¿Puede dos veces un cuadrado perfecto ser divisible por

$$q^{\frac{q+1}{2}} + 1,$$

donde $q$ es un primo con $q \equiv 1 \pmod 4$?

Answer 1

Pista:

$q \equiv 1 \mod 4 \implies q^{\frac{q+1}{2}} + 1 \equiv 2 \mod 4$

$q^{\frac{q+1}{2}} + 1 =(2k+1)2$

El doble de $(2k+1)^2$ es divisible por $q^{\frac{q+1}{2}}+1$. Tal vez puedas escribir $k$ en función de $q$.

Answer 2

Intenta demostrar algo "más difícil":

Teorema: Sea $n$ un entero positivo. Existe un entero positivo $k$ tal que $n | 2k^2$

k=n