¿Resolviendo tres posibles formas integrales con las variables$x$ y$y$?

Question

Soy un Ingeniero en Computación para Estudiantes, y trato de familiarizarme con Integral, pero no pude obtener el punto con tres formas de variables$x$ y$y$. ¿Cómo podemos obtener fácilmente el punto de la siguiente ecuación para resolverlo fácilmente?

$1) E[x]=\int_{-1}^1 \int_0^1 xdxdy $

$2) E[x]=\int_{-1}^1 \int_0^1 ydxdy $

$3) E[x]=\int_{-1}^1 \int_0^1 xydxdy $

Answer 1

Te voy a mostrar el segundo, y puedes probar con los demás tú mismo.

Una integral doble es una integral de una integral. La interna está en términos de la primera de las variables$\mathrm{d}...$, la externa, en términos de la segunda. Para usted esto significa $$ \begin{split} \int_{-1}^1 \int_0^1 y \mathrm{d}x \mathrm{d}y &= \int_{y=-1}^{y=1} \int_{x=0}^{x=1} y \mathrm{d}x \mathrm{d}y \\ &= \int_{y=-1}^{y=1} \left(\int_{x=0}^{x=1} y \mathrm{d}x\right) \mathrm{d}y \\ &= \int_{y=-1}^{y=1} \left(\int_{x=0}^{x=1} \mathrm{d}x\right) y \mathrm{d}y \\ &= \int_{y=-1}^{y=1} \left(1-0\right) y \mathrm{d}y \\ &= \int_{y=-1}^{y=1} y \mathrm{d}y \\ &= \left. \frac{y^2}{2} \right|_{y=-1}^{y=1} \\ &= 0. \end {split} $$

CONSEJO PARA EL # 3

$$ \begin{split} \int_{-1}^1 \int_0^1 y \mathrm{d}x \mathrm{d}y &= \int_{y=-1}^{y=1} \int_{x=0}^{x=1} xy \mathrm{d}x \mathrm{d}y \\ &= \int_{y=-1}^{y=1} \left(\int_{x=0}^{x=1} xy \mathrm{d}x\right) \mathrm{d}y \\ &= \int_{y=-1}^{y=1} \left(\int_{x=0}^{x=1} x \mathrm{d}x\right) y \mathrm{d}y \end {dividir} $$