¿Ejemplo de función continua que es analítica en el interior pero no puede ser continuado analíticamente?

Question

Estoy buscando un ejemplo de una función $f$ que es 1) continua en el cerrado de la unidad de disco, 2) analítica en el interior y 3) no puede ser extendida de forma analítica a cualquier conjunto mayor. Un ejemplo concreto sería el mejor, pero sólo una prueba de que algunos existen también sería agradable. (De hecho no estoy seguro de que hacer.)

No sé de ejemplos de funciones analíticas que no puede ser extendido desde la unidad de disco. Tomar un lacuanary de alimentación de la serie, por ejemplo, con radio de convergencia 1. Pero no estoy seguro de si alguno de ellos definir una función continua en el cerrado de la unidad de disco.

Answer 1

Sugiero esta función: $$f(z)=\sum_{n=1}^\infty \frac{z^{n!}}{n^2}.$ $ converge uniformemente sobre el disco de unidad cerrada y la explosión derivados al acercarse cualquier raíz de la unidad radialmente.

Answer 2

Aquí es un ejemplo concreto:

$ g(z) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2^n + 1}}{2^n + 1}. $

El poder de la serie converge uniformemente a una función continua en el cerrado de la unidad de disco. La diferenciación obtenemos $g'(z) = f(z)$ con

$ f(z) = \sum_{n=0}^{\infty}z^{2^n}. $

Este es el estándar ejemplo de una función con un límite natural. Claramente $f(x) \rightarrow +\infty$ $x \rightarrow 1^{-}$ sobre el eje real. La ecuación funcional

$ f(z) = z + f(z^2) $

muestra que $f(x) \rightarrow + \infty$ $x \rightarrow (-1)^{+}$ sobre el eje real, entonces $|f(z)| \rightarrow \infty$ $z$ tiende radialmente a ${\pm}i$, y así sucesivamente, de modo que $|f(z)|$ tiende a $\infty$ $z$ tiende radialmente a cualquier raíz de la unidad de la orden de $2^m$. Por lo tanto $f(z)$ tiene un denso conjunto de singularidades en el círculo unitario, y así no $g(z)$, lo $g(z)$ tiene el círculo unitario como límite natural.

Answer 3

Uno puede invocar el teorema de Carathéodory.

Si $U$ se conecta simplemente a abrir subconjunto del plano complejo con un Jordan curva como límite, a continuación, el Riemann mapa de$f : U \to \mathbb D$ se extiende continuamente a la frontera y la extensión es un homeomorphism $\partial U \to S^1$ en la frontera.

Para obtener la sougth función, es suficiente con considerar un simple conectado conjunto abierto $U\subset \mathbb C$ tener un lugar analítica de la curva de Jordan como límite y tomar la inversa de la de Riemann mapa de $U$.

Answer 4

He encontrado algunas cosas ordenadas en Remmert los temas Clásicos en el complejo de la teoría de la función.

Fabry la brecha teorema proporciona un camino para la construcción de muchos ejemplos, incluyendo algunos de los ya mencionados. Indicado para la unidad de disco, que dice:

Si $m_1,m_2,\ldots$ es una secuencia de enteros positivos tal que $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}\frac{m_n}{n}=\infty$ e si $\displaystyle{f(z)=\sum_{n=1}^\infty a_nz^{m_n}}$ tiene radio de convergencia 1, entonces la unidad de disco es el dominio de holomorphy de $f$.

Por ejemplo, si $p_n$ $n^{th}$ prime, a continuación, $$f(z)=\sum_{n=1}^\infty \frac{z^{p_n}}{n^2}$ $ converge uniformemente en el disco cerrado y por lo tanto es continua. No es analíticamente extensible a cualquier conjunto más grande porque satisface la hipótesis de Fabry del teorema.

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Un resultado interesante que los rendimientos de muchas de estas funciones de una manera no constructiva es un teorema de Fatou-Hurwitz-Pólya:

Si $\displaystyle{f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n}$ tiene radio de convergencia 1, entonces el conjunto de funciones $$f_\epsilon(z)=\sum_{n=0}^\infty \epsilon_na_nz^n$$ for $\epsilon_n\in\{\pm1\}$ whose domain of holomorphy is the unit disk has cardinality $2^{\aleph_0}$.

Hausdorff mostró, además, que el si $\displaystyle{\lim_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}}$ existe (y es igual a 1), entonces el conjunto de funciones cuyo dominio de holomorphy es no la unidad de disco está en la mayoría de los contables. Esto se aplica en particular a la función de $\displaystyle{f(z)=\sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n^2}}$, que por lo tanto los rendimientos de los ejemplos cambiando los signos de los coeficientes en todos, pero countably muchas maneras.

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Uno más, esta vez un ejemplo claro de Remmert: La serie $$f(z)=1+2z+\sum_{n=1}^\infty\frac{z^{2^n}}{2^{n^2}}$$ es uno-a-uno, y tiene reales derivados de todos los pedidos en el disco cerrado, y tiene el disco abierto como dominio de holomorphy.

Referencia: Remmert los temas Clásicos en el complejo de la teoría de la función, páginas 252-258. (Fatou-Hurwitz-Pólya se indica en la página de vista previa).

Answer 5

Que $f(z) = \sum z^n/n^2$, que es continua y acotada en el disco unidad cerrada pero no analítica cerca de $1$. Entonces considere

$$\sum f(z^n)/n^2.$$

Esto debe tener una singularidad en cada raíz de la unidad; y debe ser analítico en el interior ya que es uniformemente convergente.