Si $\mathbb{Z}_a\oplus\mathbb{Z}_b\cong \mathbb{Z}_c\oplus\mathbb{Z}_d$ , $a|b$ y $c|d$ entonces $a=c$ et $b=d$ .

Question

Supongamos que $a, b, c$ et $d$ son enteros positivos tales que $b$ es un múltiplo entero de $a$ y $d$ es un múltiplo entero de $c$ . ¿Cómo podemos demostrar que

si las sumas directas $\mathbb Z_a\oplus \mathbb Z_b$ y $\mathbb Z_c\oplus \mathbb Z_d$ son isomorfos entonces $a=c$ et $b=d$ .

Lo que he hecho es:

Si $b$ es múltiplo de $a$ entonces existe un número entero $m$ tal que $b=a\cdot m$ . Del mismo modo, si $d$ es un múltiplo entero de $c$ existe un número entero $n$ tal que $d=c\cdot n$

Si $\mathbb Z_a\oplus \mathbb Z_b$ y $\mathbb Z_c\oplus \mathbb Z_d$ son isomorfas, entonces $a\cdot b=c\cdot d$

Entonces obtenemos $a^2\cdot m= c^2\cdot n$ . Pero parece que no podemos obtener nada de esto para llegar a la respuesta.

Answer 1

CONSEJOS:

1. Si $a\mid b$ ¿Cuál es el mayor orden de cualquier elemento de $\mathbb{Z}_a\oplus\mathbb{Z}_b$ ? ¿Es este número un invariante de isomorfismo?

2. ¿Cuál es el orden de $\mathbb{Z}_a\oplus\mathbb{Z}_b$ ?