Automorfismos de Bundle, grupos de estructura y grupos de galgas

Question

Estoy tratando de entender los fundamentos matemáticos de la teoría gauge y quería comprobar si estoy en lo cierto al pensar que lo siguiente es cierto.

1. Si $E$ es un $G$ -principio de paquete sobre $M$ entonces llamamos a $G$ el grupo de estructura de $E$ y es el grupo de funciones de transición en cualquier punto $x \in M$ .

2. El grupo de automorfismos del haz es precisamente $G$ en cualquier punto $x \in M$ .

3. Llamamos al grupo de automorfismos del haz el grupo de transformaciones gauge (globales) .

4. Llamamos $G$ el grupo de galgas .

5. Llamamos al grupo de funciones de transición sobre alguna vecindad $U$ el grupo de transformaciones gauge (locales) . Es el grupo de automorfismos del haz sobre $U$ .

Creo que puedo estar mezclando un poco las nociones globales y locales aquí, en particular con respecto a los automorfismos y las funciones de transición. ¿Hay una forma mejor de expresar la interacción entre el grupo de funciones de transición y el grupo de automorfismos?

Agradecería la precisión matemática, ¡ya que los argumentos de los libros de física son precisamente los que me confunden en estos puntos! ¡Muchas gracias de antemano!

Answer 1

No estoy seguro de lo que quieres decir con "grupo de funciones de transición". Si tenemos una trivialización local $\{(U_\alpha, \varphi_\alpha)\}_{\alpha \in A}$ del director $G$ -bundle $\pi: E \longrightarrow M$ entonces el $\varphi_\alpha$ son difeomorfismos $$\varphi_\alpha: \pi^{-1}(U_\alpha) \longrightarrow U_\alpha \times G$$ tal que $$\pi = \mathrm{proj}_{U_\alpha} \circ \varphi_\alpha.$$ Entonces la colección de funciones de transición $\{\theta_{\beta\alpha}\}_{\alpha, \beta \in A}$ (con respecto a la trivialización del haz $\{(U_\alpha, \varphi_\alpha)\}_{\alpha \in A}$ ) son mapas suaves $$\theta_{\beta\alpha} : U_\alpha \cap U_\beta \longrightarrow G$$ determinado por $$(\varphi_\beta \circ \varphi_\alpha^{-1})(x, g) = (x, \theta_{\beta\alpha}(x) g).$$ El grupo de estructura $G$ sólo indica a qué grupo se superponen las funciones de transición.

No estoy seguro de lo que quieres decir exactamente en 2. Si estás diciendo que el grupo de transformaciones gauge en $E|_{\{x\}}$ (el haz restringido a un punto) es $G$ entonces esto es cierto. En general, el grupo de transformaciones gauge $\mathscr{G}$ pueden identificarse con funciones suaves de $M$ a $G$ , es decir $\mathscr{G} = C^\infty(M, G)$ .

Un gauge local es el término físico para una elección de trivialización de $\pi:E \longrightarrow M$ sobre un barrio $U \subset M$ . Una transformación gauge local es un término físico para cambiar esta elección de trivialización. Una elección de trivialización de $\pi^{-1}(U)$ equivale a la elección de una sección local $s: U \longrightarrow \pi^{-1}(U)$ . Entonces una definición equivalente de una transformación gauge local es un cambio en la elección de la sección local.

Podemos construir transformaciones gauge locales de un gauge local dado $s: U \longrightarrow \pi^{-1}(U)$ como sigue. Tome un mapa suave $g: U \longrightarrow G$ y definir un nuevo indicador local $s^g$ por $$s^g(x) = s(x) \cdot g(x) \text{ for all } x \in U.$$ Todos los calibres locales posibles surgen así de alguna elección de $g$ . Ahora, dado un calibre local $s$ y una transformación galvánica local $s^g$ de $s$ podemos definir un automorfismo de haz $f$ de $\pi^{-1}(U)$ por $$f(s(x) \cdot h) = s^g(x) \cdot h \text{ for all } h \in G.$$ A la inversa, dado un indicador local $s$ y un automorfismo del haz $f$ de $\pi^{-1}(U)$ podemos definir una transformada gauge de $s$ por $$\tilde{s}: U \longrightarrow \pi^{-1}(U),$$ $$x \mapsto f^{-1}(s(x)).$$ Ahora bien, como $\tilde{s}$ es otra sección local, existe un mapa $g: U \longrightarrow G$ tal que $\tilde{s}(x) = s(x) \cdot g(x)$ para todos $x \in U$ . Se puede demostrar que $g$ es suave, y por lo tanto $\tilde{s} = s^g$ como antes. Esto establece la correspondencia $$\text{local gauge transformations} \,\leftrightarrow\, \text{bundle automorphisms of $ \pi^{-1}(U) $}.$$

Por último, los matemáticos suelen llamar al grupo de transformaciones gauge $\mathscr{G}$ simplemente "el grupo gauge", en contraste con la terminología de los físicos.

Answer 2

Esto no es realmente una respuesta. Parece que no puedo añadir un comentario (baja reputación). Sólo quería corregir una pequeña (pero crucial) inexactitud en la buena respuesta de Henry T. Horton: en general $\mathscr{G}$ puede identificarse con $C^\infty(M,G)$ sólo cuando $G$ es abeliano o el haz principal $E$ es trivializable. Véase, por ejemplo, Husemoller, Fibre bundles, Proposition 1.7 p. 81.