No estoy seguro de lo que quieres decir con "grupo de funciones de transición". Si tenemos una trivialización local $\{(U_\alpha, \varphi_\alpha)\}_{\alpha \in A}$ del director $G$ -bundle $\pi: E \longrightarrow M$ entonces el $\varphi_\alpha$ son difeomorfismos $$\varphi_\alpha: \pi^{-1}(U_\alpha) \longrightarrow U_\alpha \times G$$ tal que $$\pi = \mathrm{proj}_{U_\alpha} \circ \varphi_\alpha.$$ Entonces la colección de funciones de transición $\{\theta_{\beta\alpha}\}_{\alpha, \beta \in A}$ (con respecto a la trivialización del haz $\{(U_\alpha, \varphi_\alpha)\}_{\alpha \in A}$ ) son mapas suaves $$\theta_{\beta\alpha} : U_\alpha \cap U_\beta \longrightarrow G$$ determinado por $$(\varphi_\beta \circ \varphi_\alpha^{-1})(x, g) = (x, \theta_{\beta\alpha}(x) g).$$ El grupo de estructura $G$ sólo indica a qué grupo se superponen las funciones de transición.
No estoy seguro de lo que quieres decir exactamente en 2. Si estás diciendo que el grupo de transformaciones gauge en $E|_{\{x\}}$ (el haz restringido a un punto) es $G$ entonces esto es cierto. En general, el grupo de transformaciones gauge $\mathscr{G}$ pueden identificarse con funciones suaves de $M$ a $G$ , es decir $\mathscr{G} = C^\infty(M, G)$ .
Un gauge local es el término físico para una elección de trivialización de $\pi:E \longrightarrow M$ sobre un barrio $U \subset M$ . Una transformación gauge local es un término físico para cambiar esta elección de trivialización. Una elección de trivialización de $\pi^{-1}(U)$ equivale a la elección de una sección local $s: U \longrightarrow \pi^{-1}(U)$ . Entonces una definición equivalente de una transformación gauge local es un cambio en la elección de la sección local.
Podemos construir transformaciones gauge locales de un gauge local dado $s: U \longrightarrow \pi^{-1}(U)$ como sigue. Tome un mapa suave $g: U \longrightarrow G$ y definir un nuevo indicador local $s^g$ por $$s^g(x) = s(x) \cdot g(x) \text{ for all } x \in U.$$ Todos los calibres locales posibles surgen así de alguna elección de $g$ . Ahora, dado un calibre local $s$ y una transformación galvánica local $s^g$ de $s$ podemos definir un automorfismo de haz $f$ de $\pi^{-1}(U)$ por $$f(s(x) \cdot h) = s^g(x) \cdot h \text{ for all } h \in G.$$ A la inversa, dado un indicador local $s$ y un automorfismo del haz $f$ de $\pi^{-1}(U)$ podemos definir una transformada gauge de $s$ por $$\tilde{s}: U \longrightarrow \pi^{-1}(U),$$ $$x \mapsto f^{-1}(s(x)).$$ Ahora bien, como $\tilde{s}$ es otra sección local, existe un mapa $g: U \longrightarrow G$ tal que $\tilde{s}(x) = s(x) \cdot g(x)$ para todos $x \in U$ . Se puede demostrar que $g$ es suave, y por lo tanto $\tilde{s} = s^g$ como antes. Esto establece la correspondencia $$\text{local gauge transformations} \,\leftrightarrow\, \text{bundle automorphisms of $ \pi^{-1}(U) $}.$$
Por último, los matemáticos suelen llamar al grupo de transformaciones gauge $\mathscr{G}$ simplemente "el grupo gauge", en contraste con la terminología de los físicos.
