¿Cuál es el significado de "Estructura de anillo que varía continuamente con$x$?"

Question

¿Qué significa cuando se dice que una estructura de anillo que varía continuamente con alguna variable? Decir, en el siguiente contexto

Los tallos pueden ser anillos, y en ese caso la estructura de anillo de $\mathscr{F}_x$ se supone que varían continuamente con $x$. O, cada una de las $\mathscr{F}_x$ puede ser un módulo sobre algunas de campo fijo.

tomado de Zariski del informe Científico sobre el segundo instituto de verano, varias variables complejas. La parte III. Algebraicas teoría de la gavilla.

Answer 1

Supongamos que tiene un conjunto de vectores en una variedad, de tal manera que cada fibra es un anillo. Considerar una trivialización local. En términos de eso, puedes describir la multiplicación de cada uno de esos anillos en términos de constantes de estructura: que las estructuras de los anillos varían continuamente significa que esas constantes de estructura son funciones continuas.

En otras categorías, como la holomórfica o la algebraica, se adapta según sea necesario.

Answer 2

Una gavilla por primicia de los conjuntos en un espacio de $X$ es un espacio topológico $\mathscr{F}$ junto con un mapa continuo $p:\mathscr{F}\to X$ el cumplimiento de determinadas condiciones (esta no es la única forma de definir una gavilla, pero es la única Zariski está utilizando). Si pones una estructura de anillo en $\mathscr{F}_x=p^{-1}(\{x\})$ por cada $x$, de ahí a decir que esta estructura de anillo "que varía continuamente" sólo significa que el anillo de las operaciones son continuas mapas (y lo mismo para cualquier otro tipo de estructura algebraica). Por ejemplo, además es un mapa de $+:\{(a,b)\in\mathscr{F}\times\mathscr{F}:p(a)=p(b)\}\to\mathscr{F}$, y este mapa debe ser continua (con respecto a la topología producto en el dominio). Del mismo modo, la multiplicación debe ser continua, la negación debe ser continua como un mapa de $\mathscr{F}\to\mathscr{F}$, y los mapas de $0,1:X\to\mathscr{F}$ que envían $x$ cero o elemento de la unidad de elemento de $\mathscr{F}_x$ (respectivamente) debe ser continua.

(El más común moderno enfoque es definir una gavilla, no en términos del espacio de $\mathscr{F}$ sino más bien en términos de la operación que dura un conjunto abierto $U\subseteq X$ para el conjunto de $\mathscr{F}(U)$ de las secciones del mapa $p$ sobre el conjunto de $U$, junto con mapas de restricción $\mathscr{F}(U)\to\mathscr{F}(V)$ siempre $V\subseteq U$. En este marco, es automático que cualquier algebraica de la estructura de los conjuntos de $\mathscr{F}(U)$ "varía de forma continua", en el sentido de que poner (por ejemplo) una estructura de anillo en cada una de las $\mathscr{F}(U)$ de manera tal que los mapas de restricción son homomorphisms es equivalente a poner un anillo en cada tallo $\mathscr{F}_x$ de manera tal que el anillo de las operaciones son continuas, como se describe anteriormente).