Tiempo previsto para lanzar todos los números del 1 al 6 de un dado

Question

¿Cuál es el número medio de veces que se necesita para lanzar un dado justo de 6 caras y obtener todos los números del dado? El orden en que aparecen los números no importa.

Estas preguntas me las explicó un profesor (no de matemáticas), pero no quedó claro en la explicación. Nos dieron la respuesta $(1-(\frac56)^n)^6 = .5$ o $n = 12.152$

¿Puede alguien explicarme esto, posiblemente con un enlace a un tema general?

Answer 1

El tiempo hasta que aparece el primer resultado es $1$ . Después, el tiempo aleatorio hasta que aparece un segundo resultado (diferente) se distribuye geométricamente con parámetro de éxito $5/6$ por lo que con la media $6/5$ (recordemos que la media de una variable aleatoria con distribución geométrica es la inversa de su parámetro). Después, el tiempo aleatorio hasta que aparece un tercer resultado (diferente) está distribuido geométricamente con parámetro de éxito $4/6$ por lo que con la media $6/4$ . Y así sucesivamente, hasta el momento aleatorio de aparición del último y sexto resultado, que se distribuye geométricamente con parámetro de éxito $1/6$ por lo que con la media $6/1$ . Esto muestra que el tiempo total medio para obtener los seis resultados es $$\sum_{k=1}^6\frac6k=\frac{147}{10}=14.7.$$

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Editar: Esto se denomina Problema de cobro de cupones . Para una feria $n$ -el número esperado de intentos necesarios para conseguir todos los $n$ valores es $$n\sum_{k=1}^n\frac1k,$$ que, para los grandes $n$ es aproximadamente $n\log n$ . Esto contrasta con el tiempo medio necesario para completar sólo una parte $cn$ de toda la colección, para algunos $c$ en $(0,1)$ que, para los grandes $n$ es aproximadamente $-\log(1-c)n$ . Se ve que la mayoría de los $n\log n$ Los pasos necesarios para completar la colección completa se emplean en realidad en completar el último uno por ciento, o el último uno por mil, o el último porcentaje que sea de la colección.

Answer 2

Esta es la lógica:

La probabilidad de sacar un número que aún no has sacado cuando empiezas es $1$ como cualquier número. Una vez que hayas sacado este número, tu probabilidad de sacar un número que aún no hayas sacado es $5/6$ . Continuando de esta manera, después de haber rodado $n$ números diferentes, la posibilidad de sacar uno que aún no hayas sacado es $(6-n)/6$ .

Se puede calcular el tiempo medio que tarda un resultado de probabilidad $p$ para que aparezca con una fórmula sencilla: $1/p$ . Además, el tiempo medio que tardan en aparecer varios resultados es la suma de los tiempos medios de cada resultado individual.

Esto nos permite calcular el tiempo medio necesario para lanzar cada número: $t = 1/1 + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6/1 = 1 + 12/10 + 15/10 + 2 + 3 + 6 = 12 + 27/10 = 14.7$

Answer 3

Asocie un éxito a cada número que aparezca y que no haya aparecido antes. Sea $X_i$ sea el número de ensayos entre el $i^{th}$ éxito y el $(i + 1)^{st}$ éxito.

Dejemos que $X$ sea la variable aleatoria que representa el número total de ensayos necesarios para el evento requerido, y $E[X]$ sea el valor esperado requerido.

Entonces, por linealidad de la Expectativa, tenemos $E[X] = 1 + \sum_{i=1}^{5}E[X_i]$ .

Para calcular $E[X_i]$ Considere lo siguiente, después de recibir $i−1$ números diferentes, es decir, después de $i −1$ éxitos, cada ensayo posterior tiene una probabilidad $(6 − i)/6$ de obtener un número que no haya aparecido antes.

Por lo tanto, la variable aleatoria $X_i$ es geométrico con el parámetro $p_i = (6−i)/6$ Por lo tanto $E[X_i] = 1/p_i = 6/(6-i)$ .

De ello se desprende que $E[X] = 1 + 6\sum_{i=1}^{5}1/i$ .

Por lo tanto, $E[X]=14.7$ .