Suma finita sobre recíproco de coeficiente binomial

Question

Problema : simplifique$$ \sum_{m=0}^k a^m m! (n-m)!$ $ donde$a$ es real y positivo,$k \in \mathbb N$ y$n \in \mathbb N$ con$k \leq n$.

Los límites superiores e inferiores también pueden ser útiles. Un ejemplo que he encontrado es, asumiendo$a \neq 1$ y usando$m! (n-m)! \leq n!$,$$ \sum_{m=0}^k a^m m!(n-m)! \leq n! \sum_{m=0}^k a^m = \frac{n! \left(1 - a^{k+1} \right)}{1-a},$ $ pero no estoy satisfecho con la precisión de este límite.

Soy consciente de la pregunta de math.stackexchange.com algo relacionada: Calcular$\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{{2k \choose k}}$

Answer 1

Una idea es estimar la función de entropía basada en el valor de$k$ (si conoce el rango de la misma)

$n \choose m $$\approx 2^{nH(\frac{m}{n})}$

Ahora, si conoce$k$, puede encontrar una aproximación lineal a$H(x)$ en$[0,\frac{k}{n}]$ y usarla para calcular simplemente la suma