Comprensión de presentaciones de grupos.

Question

Estoy tratando de construir una mejor comprensión de las presentaciones. Entiendo que un grupo tiene una presentación$\langle S \mid R \rangle$ si es el grupo "más libre" sujeto a las relaciones$R$.

Pero, por ejemplo, ¿cómo está inmediatamente claro que$\langle x, y \mid x^2 = y^2 \rangle$ es el mismo grupo que$\langle x, y | xyx^{-1}y \rangle$? Además, de manera más general, ¿cuáles son algunas maneras de determinar si dos presentaciones diferentes producen el mismo grupo?

Answer 1

Como user58512 señala en los comentarios, no siempre es posible determinar si dos presentaciones definir isomorfo grupos. Se ha demostrado que el problema de determinar si un determinado presentación define el trivial grupo es indecidible.

Sin embargo, en muchos casos, nos puede mostrar (o incluso ver fácilmente) que dos presentaciones representan el mismo grupo. Una forma de hacerlo formalmente es el uso de Tietze transformaciones. Le sugiero que pruebe la transformación de su primera presentación en la segunda el uso de Tietze tranformations. Como una sugerencia, intenta empezar por la adición de $xy$ como un nuevo generador en la segunda presentación.

Answer 2

A veces las leyes de la presentación se implican. Pero en general, puede pensar en ellos como grupos cocientes de los grupos libres, y las relaciones como relaciones de congruencia, o con manipulación, generadores del núcleo (por lo que la relación predeterminada es con la identidad). Y luego, por lo general, no es evidente de inmediato qué son y no son las cosas isomorfas, y la presentación puede que no sea del todo consciente. Así que prueba los teoremas de los isomorfismos.

Answer 3

Es un poco difícil intentar explicar esto sin el dibujo de las cosas, pero si dibuja un rectángulo con un par me de lados opuestos identificado y el otro par II identificado en direcciones contrarias, se puede ver que tiene dos bandas de Moebius: uno como una tira de "en medio" del rectángulo con los lados II identificado, y la otra toma de las tiras anteriores y antes de la primera banda de Möbius (estoy seguro de que debe haber algún sitio donde tal cosa ha hecho!).

Ahora se puede aplicar la Seifert - van Kampen Teorema de uniéndose a las dos bandas en el centro del rectángulo, uno arriba, yo y el otro debajo de él, y esto hace que el grupo $\,\Bbb Z *_{\Bbb Z}\Bbb Z\,$ , cuando el amalgation nos da sólo la relación $\,x^2=y^2\,$.

Si usted tiene éxito en el acaparamiento de la imagen geométrica de arriba tiene su isomorfismo a la vez, de lo contrario va a tomar mucho más tiempo y sudor. Si puedo llegar a algo más tarde añadiré aquí.

Añadido: Massey IV.5 parece que trabajar en esto, pero es demasiado complicado de entender para mí es por el mero hecho de leerlo rápidamente. Si usted tiene algún tiempo de probarlo.

Además agregó: Tenemos $\,x^2=y^2\Longrightarrow x^2y^{-2}=1\,$ , así que podemos poner

$$r:=xyx^{-1}\;,\;\;s:=xy^{-1}\Longrightarrow$$

$$ rsr^{-1}s=xyx^{-1}xy^{-1}xy^{-1}x^{-1}xy^{-1}=x^2y^{-2}=1$$

y de esta manera podemos pasar de su primera presentación a la segunda...