La categoría de campos vectoriales en variedades lisas.

Question

En mi geometría diferencial conferencia de hoy hemos aprendido acerca de la push-forward de un campo de vectores por un diffeomorphism. Sé que algunos categoría básica de la teoría y me di cuenta de un functor apareciendo. Aquí es lo que tengo (en clase, en el momento solo estamos mirando al abrir los subconjuntos de a $\mathbb{R}^n$ pero creo que esto debería generalizar):

Deje $U,V\subseteq \mathbb{R}^n$ ser abierto, $F\in \text{Diff} (U,V)$ un diffeomorphism, y deje $\mathbb{X}:U\rightarrow \mathbb{R}^n$ ser un campo de vectores en $U$ (lo que hemos estado pensando justo como una función de a $\mathbb{R}^n$). Denota el conjunto de todos los vectores de los campos en $U$$\mathcal{X} (U)$. A continuación, el empuje hacia delante de $\mathbb{X}$ $F$ es el campo de vectores $F_{*} \mathbb{X}\in\mathcal{X} (V)$ definido por $(F_{*} \mathbb{X})\circ F = F'\mathbb{X}$ donde $F'$ es el derivado de la $F$. En componentes, $(F_{*} \mathbb{X})^i (y) = \partial_j (F^i (F^{-1} (y)))\mathbb{X}^j (F^{-1} (y))$. Se puede comprobar que ${id_U}_{*} = id_{\mathcal{X} (U)}$ e si $U\xrightarrow{F} V\xrightarrow{G} W$ es una secuencia de diffeomorphisms, a continuación,$(G\circ F)_{*}\mathbb{X} = G_{*} F_{*} \mathbb{X}$.

Por lo tanto tenemos un functor covariante $h_{*}(F:U\rightarrow V) = F_{*} : \mathcal{X}(U)\rightarrow \mathcal{X}(V)$ a partir de la categoría de $\bf{Man}$ de lisa colectores (aquí he utilizado los subconjuntos de a $\mathbb{R}^n$) a la categoría de $\bf{VecFld}$ de los campos vectoriales en suave colectores. Sin embargo, no tengo ni idea de lo $\bf{VecFld}$ se ve como una categoría en sí misma. ¿Cuáles son los morfismos? Es cada morfismos $f:\mathcal{X}(V)\rightarrow \mathcal{X}(U)$ el pullback $f(\mathbb{X}) = \mathbb{X} \circ F$ de algunos diffeomorphism $F:U\rightarrow V$? Qué $h_{*}$ tiene un adjunto?

Cualquier información sobre las actividades de las preguntas sería muy apreciada, y lo siento si esto es muy básico, espero aprender más acerca de los campos vectoriales más adelante en este curso!

Answer 1

Aquí hay al menos dos buenas maneras de ver el pushforward como un functor.

En primer lugar, considerar la categoría de punta suave colectores, donde los objetos $(M,p)$ son suaves colectores $M$ con un distinguido punto de $p$, y los morfismos $F:(M,p)\to(N,p')$ son suaves mapas de la preservación de la distinguida puntos, es decir, que los $F(p)=p'$. A continuación, el pushforward de $F$, $F_*$ es lineal en el mapa entre la tangente espacios, $F_*:T_p M\to T_{p'} N$. Así que podemos pensar en el pushforward como un functor de punta suave colectores a la categoría de espacios vectoriales lineales mapas.

En segundo lugar, considere la categoría de suave colectores con diffeomorphisms como morfismos. Deje $F:M\to N$ ser un diffeomorphism. Tenemos el pushforward, como se explica anteriormente, para cada punto de $p\in M$, $F_*:T_p M\to T_{F(p)}N$. Dejando $p\in M$ variar esto le da un paquete de mapa entre la tangente haces, $F_*:TM\to TN$. Así que aquí podemos pensar en el pushforward como un functor de la categoría de suave colectores con diffeomorphisms a la categoría de suave vector de paquetes con suave paquete de mapas.

Nota en el ejemplo anterior tenemos que tomar diffeomorphisms como morfismos porque de lo contrario no obtendremos un bien definidos paquete de mapa. Esto se refiere a por qué no podemos pushforward un campo de vectores con un mapa que no es un diffeomorphism.

Me doy cuenta de estos ejemplos puede ser un poco demasiado avanzado para usted ahora mismo, pero creo que son las más básicas formas de ver el pushforward como un functor. En el tiempo usted aprenderá acerca de todos los conceptos que he mencionado anteriormente.

Answer 2

Una forma de decir en términos categóricos lo que muestran sus comentarios es que existe un funtor de la categoría$\bf{Man}^\simeq$ de variedades lisas, donde los morfismos son difeomorfismos , a la categoría de conjuntos; este functor asigna a una variedad el conjunto de campos vectoriales en él, y asigna a un difeomorfismo$F$ la función de avance a lo largo de$F$.