¿Por qué esta no es la compactación de Stone-Čech?

Question

He estado revisando las propiedades de las compactaciones, y encontré esta pregunta.

Si$cX$ es un espacio métrico compacto y$X$ es un subconjunto denso de$cX$, donde$X \neq cX$, ¿por qué es$cX$ no la compactación de Stone-Čech de$X$?

Answer 1

Ningún punto$y\in\beta X\setminus X$ es un límite de una secuencia de puntos pertenecientes a$X$, vea esta pregunta: compactaciones de Stone-Cech y límites de secuencias

Si$cX$ es metrizable y$X$ es denso en$cX$, entonces cada punto de$cX\setminus X$ es un límite de una secuencia de puntos de$X$.

Answer 2

Considere la posibilidad de un completamente regular y noncompact espacio de $X$. A continuación, su Piedra Cech compactification $\beta X$ no es metrizable.

Prueba: Suponga $\beta X$ es metrizable. Si $X$ no es compacto, a continuación, $X$ no $\beta X$. Por lo tanto, existe al menos un punto de $p$$\beta X \setminus X$. También, $\beta X$ es metrizable y $X$ es denso en $\beta X$. Por lo tanto, hay una secuencia $x_1, x_2, x_3, x_4, ...$, de los distintos puntos en $X$ convergentes a $p$ (en $\beta X$). $X$ ser un subconjunto de a $\beta X$ también es metrizable. Por lo tanto, $X$ es un espacio normal. Los conjuntos de $O = \{x_i : i \ \text{is odd}\ \}$ $E =\{ x_i:\ i \ \text{is even}\ \}$ son distintos subconjuntos cerrados el espacio normal $X$. Por lo tanto, existe una limitada función continua de$X$$\mathbb R$, de tal manera que $f[O] = \{0\}$$f[E] = \{1\}$. Una función de este tipo se debe extender a una función de $g$ $\beta X$ $\mathbb R$tal que $g[cl(O)] = \{0\}$ $g[cl(E)] = \{1\}$ (los cierres de ser tomado en $\beta X$). Esto es una contradicción ya que el $p$ pertenece a los dos cierres y entonces tendríamos $0 = g(p) = 1$.

Por lo tanto, no puede existir un $p$$\beta X \setminus X$, y dado que X es un subconjunto de a $\beta X$, de la siguiente manera que $\beta X = X$. Por lo tanto $X$ es compacto, una contradicción.

Por lo tanto, BX no han sido metrizable.

De hecho, BX es metrizable si X es un compacto metrizable espacio.