Si$f(z)\neq 0$ en un disco$\{z:|z| \leq R\}$, entonces$\log f(z)$ es una función holomórfica en el disco?

Question

¿Es esta declaración verdadera o falsa? Lo veo en un libro, pero no puedo dar un contraejemplo. ¿Podrías?

Answer 1

Dado que$f(z)\ne0$ para$z\in D$ la función $$\ell(z):=\ell_0 +\int_0^z{f'(\zeta)\over f(\zeta)}\ d\zeta$ $ es analítica en$D$. La constante$\ell_0\in\Bbb C$ ha sido elegida de tal manera que$e^{\ell_0}=f(0)$. Uno calcula$$ \exp\bigl(\ell(0)\bigr)=e^{\ell_0}=f(0)\ , además$${d\over dz}\bigl(f(z)e^{-\ell(z)}\bigr)=e^{-\ell(z)}\left(f'(z)-f(z){f'(z)\over f(z)}\right)\equiv0\ . Se deduce que$f(z)=e^{\ell(z)}$ para todos$z\in D$, por lo que se le permite llamar$z\mapsto \ell(z)$ a un logaritmo de$f$ en$D$. Cualquier función que difiera de$\ell$ por una constante aditiva$2k\pi i$, donde$k\in\Bbb Z$, comparte esta propiedad logarítmica con$\ell$.

Answer 2

Debe saber que$f$ es holomorfo y que con$\log z$ quiere decir cualquier logaritmo de$z$, es decir, cualquier$w$ tal que$e^w =z$. Dado que el dominio de$f$ está simplemente conectado, puede definir de manera única el logaritmo en el gráfico de$f$.