Para mostrar que el complemento del kernel de una función lineal ilimitada es la ruta conectada

Question

El núcleo de un funcional lineal es cerrado (si es continua) o densa (si no). En el último caso, al parecer el complemento del núcleo es la ruta de acceso conectado. ¿Cómo hace uno para ver esto?

Sí Daniel, este es el punto. La pregunta era sobre los últimos años de máster de examen en mi universidad. La primera parte fue para mostrar que la densidad del núcleo en el caso de que el valor real lineal funcional de un espacio de Banach es discontinuo, el cual ha sido discutido en otra parte de este foro. Si la función lineal es continua entonces el núcleo se separa de sus valores negativos a partir de sus valores positivos, entonces el complemento del núcleo no es ruta de acceso conectado, así que la respuesta depende de manera crucial el hecho de que el funcional es discontinua. Si un punto está en el núcleo, a continuación, el rayo a través de ese punto es en el kernel. Si un punto está en el complemento del núcleo, a continuación, el rayo, excepto el origen está en el complemento, así que uno puede empujar todo a la unidad de la esfera. Pero todavía no veo cómo llegar allí.

Answer 1

Un bosquejo:

1. Elija$y$ con$f(y) > 0$. Basta con encontrar una ruta desde$y$ a algunos$x$ con$f(x) < 0$. (¿Por qué?)

2. Usando la discontinuidad, encuentre un$x$ y una secuencia$x_n$, tal que$x_n \to x$,$f(x) < 0$ y$f(x_n) > 0$ para todos$n$. (¿Cómo?) Sin pérdida de generalidad,$x_1 = y$.

3. Defina una ruta$\gamma$ con$\gamma(0) = x$ y$\gamma(1/n) = x_n$ (así que$\gamma(1) = y$), y lineal por partes. Verifique que$\gamma$ sea continuo y que$f(\gamma(t)) \ne 0$ para cada$t$.

Answer 2

Desde $f$ debe ser surjective, sabemos que debe haber alguna $x_0 \in X$ tal que $f(x_0) = 1$. Deje $z \in X$ tal que $f(z) \neq 0$.

1. Si $f(z) \notin \mathbb{R}$, considerar la línea de $t \mapsto tz + (1-t)x_0$. Tenga en cuenta que $$ f(z + (1-t)x_0) = tf(z) + (1-t) \neq 0 $$ De ahí que la línea se conecta $z$$x_0$.

2. Si $f(z) \in \mathbb{R}$, tenga en cuenta que $f(iz) = if(z) \notin \mathbb{R}$, por lo que es suficiente para encontrar un camino de$z$$iz$. De nuevo, $t \mapsto tz + (1-t)iz$ trabaja desde $$ f(z + (1-t)iz) = tf(z) + (1-t)f(z)i \neq 0 \quad\forall t\in [0,1] $$

Es probable que esta prueba no es el más eficiente, pero parece que funciona.