[también pidió aquí:http://mathoverflow.net/preguntas/122191/existencia-de-una-función]
Todos los argumentos están en $\mathbb{R}^3$.
Supongamos $n(x)$ es una función suave donde $\mathbf{supp}(n(x)-1)$ es un conjunto compacto $\Omega$. es decir, $n(x) = 1$ al $x$ está fuera de $\Omega$.
Suponga que hay algunos puntos de $x_j\in\Omega$ donde $j=1,2,\cdots.m$.
Considere la ecuación de Helmholtz
$\Delta u + k^2 n(x) u = 0$
Y quiero saber si hay un complejo de valores de la función $u:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{C}$ satisface la ecuación y también se desvanece en $x_j$. es decir,$u(x_j) = 0$. [Sin duda $u$ $\text{can have more zeros}$ de $x_j$]
Aquí usted puede tratar de dar un método para la construcción de $u$, o probar la existencia.
Y usted puede tomar $m=1$ aquí.
Gracias.
[ACTUALIZACIÓN]. He aquí un caso que esta función puede existir con cierta libertad para elegir los puntos.
Si suponemos que los puntos están en $xy$ plano, es decir, con la corrdinate $(x,y,0)$$\mathbb{R}^3$, e $n=1$ como una constante.
A continuación, para$x_j = (a_j,b_j,0)$$\mathbb{R}^3$,
construimos la función
$\phi(x,y) = \prod_{i=1}^m(x+iy -a_j-ib_j)$
por lo tanto $\Delta \phi = 0$, ya que es analítico.
Mi función $u(x,y,z) = \phi(x,y)e^{-ikz}$ cumple que $u(x_j) = 0$, y satisface la ecuación de Helmholtz.
Lo que todavía estoy pensando es, ¿puedo elegir los puntos al azar, o los puntos deben satisfacer algunas condiciones?
[ACTUALIZACIÓN] Para $n(x)$ no es una constante. He encontrado un camino para la construcción de la función para el caso de que $x_j$ se encuentra en el $xy$ plano.
Tomar la forma de solución como $u(x,y,z) = \phi(x,y)e^{-ik\rho(x,y,z)}$, luego
$\rho:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{C}$ cumple que $\Delta \rho + 2\dfrac{\nabla\phi}{\phi}\cdot \nabla\rho + ik(n(x)-\nabla\rho\cdot\nabla\rho) = 0$
Aquí no podemos decir que la existencia está garantizada por la PDE teorías, desde la $\dfrac{\nabla\phi}{\phi}$ es ilimitado, vamos a tener $\dfrac{\nabla\phi}{\phi}\cdot \nabla\rho=0$ o $\nabla\rho(x_j) =0$.
He encontrado un camino para la construcción de $\rho$ a saitisfy esto, pero quiero saber si hay una función que puede tener ceros al azar. Mi ejemplo se requiere que los puntos están en el mismo plano.
[ACTUALIZACIÓN] he venido para arriba con una más fáciles de la prueba. Podemos probar la existencia de la inducción. La única cosa que tenemos que garantizar es la $\nabla u\neq\mathbf{0}$$\Omega$.
