Mostrar que si $ \ A \cup B = A$ $ \ A\cap B = A$ $ \ A = B$

Question

Pregunta:

Mostrar que si $ \ A \cup B = A$ $ \ A\cap B = A$ $ \ A = B$

Mi intento:

La prueba por contradicción:

Suponga $ \ A \cup B = A$ $ \ A\cap B = A$ $ \ A \neq B$

Caso 1: $ \exists \ x \in A, x\notin B$

Si $ x \in A \implica x\in A \cap B \implica x \in A \ y \ x\in B \implica x\in B$, una contradicción.

Caso 2: $ \exists \ x \in B, x\notin A$

Si $ \ x \in B \implies x\in A \cup B \implies x\in A$, ya que el $ \ A \cup B = A$. Contradicción.

Es este enfoque correcto? Podría por favor alguien me muestre cómo hacer una prueba directa?

Answer 1

La prueba es correcta.

También,

$$A \cup B = A \implies B \subseteq A$$

$$A \cap B = A \implies A \subseteq B$$

Por lo tanto $A=B$.

Answer 2

La prueba es correcta. A juzgar por su forma de presentación, sería mejor llamarlo una contraposición prueba.

Una prueba directa es la siguiente. Tenga en cuenta que $A = B$ fib $A \subset B$$B \subset A$. Tenga en cuenta que $A = (A \cap B) \cup (A \cap B^{c})$ con los dos conjuntos en el lado derecho distinto. Por lo $A = A \cap B$ por supuesto iff $A \cap B^{c} = \varnothing$, y el fib $A \subset B$. Tenga en cuenta que$A \cup B \supset A, B$, por definición. Por lo $A \cup B = A$ por supuesto iff $A \supset B$.

Answer 3

$B=(A\cup B)\cap B = A\cap B=A$ desde $B\subseteq A\cup B$$A\cup B=A=A\cap B$.

Answer 4

Esta prueba parece demasiado complicado, me propongo $$ A=a\cap B\subconjunto X\subconjunto A\cup B=a\mbox{ para } X=a,B $$ a continuación,$A=A\cap B=A\cup B=B$.

Answer 5

Parte 1: reclamación $A\subseteq B$.

Deje $x\in A$. Reclamación $x\in B$.

Desde $A\cap B=A$, $x\in A\cap B$. Por la definición de intersección de dos conjuntos, sabemos que $x\in A$$x\in B$. Por lo tanto hemos demostrado que $x\in B$. Desde $x$ es arbitrario, por cualquier $x$ si $x\in A$,$x\in B$. Por lo tanto, $A\subseteq B$.

Parte 2: reclamación $B\subseteq A$.

Deje $x\in B$. Reclamación $x\in A$.

$x\in B$ implica que el $x\in A$ o $x\in B$. Por la definición de unión de dos conjuntos, sabemos que $x\in A\cup B$. Desde $A\cup B=A$, sabemos que $x\in A$. Desde $x$ es arbitrario, por cualquier $x$ si $x\in B$,$x\in A$. Por lo tanto, $B\subseteq A$.

Combinar las dos partes, sabemos que $A=B$.