Encontrar un valor exacto de $f(x)=\sqrt{4x^2+x}-2x$ para valores grandes de x. Calcular el $\lim_{x\to\infty}f(x)$

Question

Mis trabajos:

$x^2$ puede ser muy grande si x es grande, por lo tanto la función ha de perder-de-significado de error y tenemos la necesidad de reformularlo. $$ f(x)=\sqrt{4x^2+x}-2x=\sqrt{x(4x+1)}-2\sqrt{x}\sqrt{x}=\sqrt{x}(\sqrt{4x+1}-2\sqrt{x})$$ El último no tiene ninguna perder-de-significado de error en la evaluación.

No estoy seguro si lo hice correctamente y no sé cómo calcular el límite...

Answer 1

Me gustaría factor de la $2x$ a partir de dos términos, y en un punto crucial utilizar el Binomio de expansión para $(1+a)^{1/2}$: \begin{align} \sqrt{4x^2+x}-2x&=2x\left[\frac{\sqrt{4x^2+x}}{\sqrt{4x^2}}-1\right]\\ &=2x\left[\sqrt{1+\frac1{4x}}-1\right]\\ &=2x\left[-1+1+\frac12\cdot\frac1{4x}-\frac18\left(\frac{1}{4x}\right)^2+\cdots\right]\\ &=2x\left[ \frac1{8x}-\frac1{128x^2}+\cdots \right]\\ &=1/4-\text{(small)} \end{align}

Answer 2

Establecimiento $\frac1x=h,$

$$\lim_{x\to\infty^+}\sqrt{4x^2+x}-2x=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{4+h}-2}h\ \ \ \ (1)$$

Método de $1:$

Ahora, $$\frac{\sqrt{4+h}-2}h=\frac{(4+h)-2^2}{h(\sqrt{4+h}+2)}=\frac1{\sqrt{4+h}+2}\text{ if }h\ne0$$

Aquí como $h\to0,h\ne0$

Se puede tomar desde aquí?

Método de $2:$

Esto tiene gran parecido con su método

$\displaystyle \sqrt{4+h}=2\left(1+\frac h4\right)^{\frac12}=2\left(1+\frac12\cdot\frac h4+O(h^2)\right)$ (Usando la serie de Maclaurin )

$\displaystyle\implies \sqrt{4+h}-2=\frac h4+O(h^2) $

Ahora, os dejo el resto para usted para completar

Método de $3:$

$$\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{4+h}-2}h=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{4+h}-\sqrt4}h=\frac{d(\sqrt x)}{dx}_{(\text{ at } x=4)}=\frac1{2\sqrt x}_{(\text{ at } x=4)}$$

Método de $4:$

Aplicar la regla de L'Hôpital en $(1)$