En mi lucha por intentar avanzar en esta pregunta Estoy tratando de encontrar una prueba o contraejemplo de la siguiente afirmación, más fuerte:
Denota por $K$ el subconjunto de los enteros de Gauss tales que las partes real e imaginaria son números de Fibonacci, es decir $K = \{ x+iy\; |\; x,y \in \Bbb{F} \}$ , donde $\Bbb{F}$ es el conjunto de números de Fibonacci (positivos).
Ahora, $f_1, f_2 \in K$ son tales que $\mathrm{Re}\;f_1 > \mathrm{Re}\;f_2$ y $\mathrm{Im}\;f_2 > \mathrm{Im}\;f_1$ . Esto garantiza que la línea $L_1$ de $f_1$ a $f_2$ tiene una pendiente negativa en el plano complejo.
Lo que quiero probar/desmentir es esto:
Dibuja una línea, denotada como $L_2$ perpendicular a $L_1$ a partir de $f_1$ . Entonces, no importa cuánto tiempo $L_2$ es, nunca contendrá ningún punto del conjunto $K$ .
La figura muestra un ejemplo en el que $f_1 = 2+i$ y $f_2 = 1+5i$ . ¿La línea $L_2$ ¿alguna vez se encuentra con otro punto rojo por mucho que vaya (a la derecha)?
Hay un contraejemplo evidente: Si $f_1 = 2+i$ y $f_2 = 1+2i$ , $L_2$ pasará por el punto $3+2i$ . Esto corresponde al caso de 45 grados de la pregunta que he enlazado antes, que es un cuadrado inclinado con las coordenadas $2+i, 1+2i, 2+3i, 3+2i$ . Otro contraejemplo es el cuadrado $(3+i,1+3i,5+3i,3+5i)$
¿Hay otros? Si no los hay, creo que la pregunta vinculada está resuelta.
Esto es lo que he hecho hasta ahora:
La línea $L_1$ tiene la misma pendiente que el vector $f_2 - f_1$ . La rotación de este vector 90 grados en el sentido de las agujas del reloj corresponde a una multiplicación por $-i$ . Esto dará la siguiente expresión para $L_2$ (parametrizado por $k$ ):
$$L_2 = f_1 + k(-i)(f_2 - f_1) = f_1(1+ki)-kf_2i$$
Utilizando $f_1 = x_1 + iy_1$ y $f_2 = x_2 + iy_2$ obtenemos
$$L_2 = (x_1 + iy_1)(1+ki) - k(x_2 + iy_2) = \underbrace{x_1+k(y_2-y_1)}_{= x_k} + i\underbrace{\left(y_1+k(x_1-x_2)\right)}_{=y_k}$$
Denotemos las partes real e imaginaria de $L_2$ por $x_k$ y $y_k$ respectivamente.
Ahora, la hipótesis es que no hay $k$ tal que $x_k$ y $y_k$ son simultáneamente números de Fibonacci.
No sé si es útil, pero identificar las partes reales e imaginarias da
$$y_k(y_2-y_1)+x_k(x_2-x_1) = y_1(y_2-y_1)+x_1(x_2-x_1)$$
Esto es lo más lejos que he llegado. Hay ciertas propiedades de la secuencia de Fibonacci que pueden ser útiles, como el hecho de que cada $k^{\text{th}}$ número de la secuencia es un múltiplo de $F_k$ pero no he podido utilizarlo.
