La categoría de representaciones de $\mathfrak{g}$ no sólo es abeliana, sino que es isomorfa a la categoría de módulos sobre una determinada (asociativa) $k$ -(donde $k$ es el campo base). En efecto, defina $U(\mathfrak{g})$ para ser el asociativo libre $k$ -en la subyacente $k$ -espacio vectorial $\mathfrak{g}$ , relaciones modulares que dicen que para cada $x,y\in \mathfrak{g}$ , $xy-yx=[x,y]$ (aquí el lado izquierdo se calcula utilizando la multiplicación de nuestra álgebra asociativa, y el lado derecho es el paréntesis en $\mathfrak{g}$ ). Es decir, construimos "libremente" un álgebra asociativa a partir de $\mathfrak{g}$ en la que el paréntesis se convierte en la operación de conmutación sobre elementos de $\mathfrak{g}$ . Entonces es sencillo verificar que a $U(\mathfrak{g})$ -es lo mismo que un $\mathfrak{g}$ -que da un isomorfismo de categorías. El álgebra $U(\mathfrak{g})$ es conocido como el álgebra envolvente universal de $\mathfrak{g}$ .
Para cualquier anillo $R$ , se puede formar un $Ab$ -categoría enriquecida $BR$ con un objeto cuyos endomorfismos son $R$ (con adición en $R$ siendo el $Ab$ -enriquecimiento y multiplicación en $R$ siendo composición de mapas). Un $R$ -es entonces lo mismo que un functor $BR\to Ab$ que preserva la $Ab$ -enriquecimiento. En particular, tomando $R=U(\mathfrak{g})$ Esto da una descripción de la categoría de representación de $\mathfrak{g}$ como una determinada categoría de funtores.
Nada de esto depende de la dimensión finita, ni siquiera de $k$ siendo un campo ( $k$ puede ser cualquier anillo conmutativo).
