Demostrar que $\int_0^1 f(x^2)dx\geqslant f\left(\frac{1}{3}\right)$

Question

Deje $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ dos veces diferenciable. Supongamos $f''(x)\geqslant 0$ todos los $x\in[0,1]$. Demostrar que

$$\int_0^1f(x^2)dx\geqslant f\left(\frac{1}{3}\right).$$

Estoy pensando en el uso del Teorema de Taylor para expandir $f(x^2)$$\frac{1}{\sqrt{3}}$. Pero parece que esto hace las cosas más complicadas.

Answer 1

Una manera de reescribir su hipótesis en una mayor desigualdad manera.

$f(x) \geq f'(t) (x-t) +f(t)$ que vale para $\forall t,x \in [0,1]$

Relacionar $f(x^2)$ sustituimos $x$ $x^2$ obtenemos $f(x^2) \geq f'(t)(x^2-t) +f(t)$

Para acercarse más a lo que estamos tratando de demostrar integramos esto y tenemos $$ \int _{0}^{1 }f(x^2) \mathrm{d}x \geq f'(t)(\frac{1}{3}-t) + f(t)$$

Que es $\int _{0}^{1 }f(x^2)\mathrm{d}x \geq \max _{t\in [0,1]} \left ( f'(t)(\frac{1}{3}-t) + f(t)\right )$

Específicamente para $t=\frac{1}{3}$, lo que le da la desigualdad en juego.